Kezdőlap


Feladat:	B.4058	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2009/április, 209 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: B.4058

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha $α = β = γ = 60^{\circ}$ , akkor a kifejezés értéke

\begin{matrix} sin 60^{\circ} sin 60^{\circ} cos 60^{\circ} + sin^{2} 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{2})}^{2} = \frac{9}{8} . \end{matrix}

Megmutatjuk, hogy minden más esetben a kifejezés értéke ennél kisebb. Mivel

α + β = 180^{\circ} - γ

, azért

cos (α + β) = - cos γ

, az addíciós tételekből pedig következik, hogy

\begin{matrix} sin α sin β = \frac{cos (α - β) - cos (α + β)}{2} . \end{matrix}

A kifejezést a fenti összefüggések felhasználásával átalakítva kapjuk, hogy

\begin{matrix} K & = sin α sin β cos γ + sin^{2} γ = \frac{1}{2} (cos (α - β) - cos (α + β)) \cdot cos γ + 1 - cos^{2} γ = \\ = \frac{1}{2} (cos (α - β) + cos γ) \cdot cos γ + 1 - cos^{2} γ = \\ = \frac{1}{2} cos (α - β) cos γ + 1 - \frac{1}{2} cos^{2} γ = \\ = 1 - \frac{1}{2} (cos^{2} γ - cos (α - β) cos γ) = \\ = 1 - \frac{1}{2} [{(cos γ - \frac{cos (α - β)}{2})}^{2} - \frac{cos^{2} (α - β)}{4}] = \\ = 1 + \frac{1}{8} cos^{2} (α - β) - \frac{1}{2} {(cos γ - \frac{cos (α - β)}{2})}^{2} . \end{matrix}

Mivel bármely valós szám négyzete nemnegatív, valamint minden

x

valós szám esetén

cos^{2} x \leq 1

, azért

\begin{matrix} K \leq 1 + \frac{1}{8} cos^{2} (α - β) \leq \frac{9}{8} . \end{matrix}

Az is látszik, hogy egyenlőség pontosan akkor van, ha

α = β

és

cos γ = \frac{cos 0^{\circ}}{2} = \frac{1}{2}

, azaz ha a háromszög szabályos. Ezzel az állítást beláttuk.

II. megoldás. Az első megoldáshoz hasonlóan most is az

α + β = 180^{\circ} - γ

összefüggésből indulunk ki. Ebből következik, hogy

\begin{matrix} sin γ = sin (α + β) és cos γ = - cos (α + β), \end{matrix}

vagyis az az addíciós képletek felhasználva:

\begin{matrix} K & = sin α sin β cos γ + sin^{2} γ = \\ = - sin α sin β (cos α cos β - sin α sin β) + {(sin α cos β + cos α sin β)}^{2} = \\ = sin^{2} α sin^{2} β + sin^{2} α cos^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β + sin α sin β cos α cos β . \end{matrix}

Mivel bármely

x

szögre teljesül, hogy

sin^{2} x + cos^{2} x = 1

, azért

\begin{matrix} (sin^{2} α + cos^{2} α) (sin^{2} β + cos^{2} β) = 1, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin^{2} α sin^{2} β + sin^{2} α cos^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β = 1 - cos^{2} α cos^{2} β, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} K & = 1 - cos^{2} α cos^{2} β + sin α sin β cos α cos β = \\ = 1 + cos α cos β (sin α sin β - cos α cos β) = 1 + cos α cos β cos γ . \end{matrix}

Egy háromszögben a szögek koszinuszainak szorzata pontosan akkor pozitív, ha a háromszög hegyesszögű. Ezért ha

K

maximumát keressük, akkor feltehetjük, hogy a háromszög hegyesszögű. Mivel a

cos x

függvény a

(0, \frac{π}{2})

intervallumon pozitív és alulról konkáv, a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség, valamint a Jensen-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} K \leq 1 + {(\frac{cos α + cos β + cos γ}{3})}^{3} \leq 1 + cos {(\frac{α + β + γ}{3})}^{3} = 1 + cos^{3} 60^{\circ} = \frac{9}{8} . \end{matrix}

Tehát

K

legnagyobb értéke

\frac{9}{8}

, s ezt pontosan akkor veszi fel, ha a háromszög szabályos.