Kezdőlap


Feladat:	C.946	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2009/április, 207 - 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Abszolútértékes egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/május: C.946

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. ,,Bontsuk fel'' az abszolút érték jelet:

I. eset:

x \geq - \frac{1}{4}

; az egyenletünk ekkor

x^{2} - 2 x + c - \frac{1}{2} = 0

, a megoldások lehetséges értékei:

\begin{matrix} x_{1} = 1 + \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} és x_{2} = 1 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} . \end{matrix}

I/A: Akkor van két különböző valós gyök, ha

c < \frac{3}{2}

, és

1 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} \geq - \frac{1}{4}

, azaz

\frac{5}{4} \geq \sqrt[]{\frac{3}{2} - c}

\frac{25}{16} \geq \frac{3}{2} - c

, tehát:

\begin{matrix} \frac{3}{2} > c \geq - \frac{1}{16} . \end{matrix}

I/B: Egy valós gyök van pontosan akkor, ha

c = \frac{3}{2}

(amikor

x_{1} = 1 \geq - \frac{1}{4}

) vagy

\begin{matrix} c < \frac{3}{2} és 1 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} < - \frac{1}{4}, vagyis - \frac{1}{16} > c . \end{matrix}

I/C: Pontosan akkor nincs valós gyök, ha

c > \frac{3}{2}

II. eset:

x < - \frac{1}{4}

; egyenletünk ilyenkor az

x^{2} + 2 x + c + \frac{1}{2} = 0

alakot ölti, a gyökök szóba jövő értékei:

\begin{matrix} x_{3} = - 1 + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} és x_{4} = - 1 - \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} . \end{matrix}

II/A: Két valós gyök akkor van, ha

c < \frac{1}{2}

, és

- 1 + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} < - \frac{1}{4}

, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} < \frac{3}{4}, \frac{1}{2} - c < \frac{9}{16}, c > - \frac{1}{16}; \end{matrix}

tehát

- \frac{1}{16} < c < \frac{1}{2}

.
II/B: Egyetlen valós megoldás van, ha

c = \frac{1}{2}

(ekkor

x_{3} = - 1 < - \frac{1}{4}

) vagy

c < \frac{1}{2}

, és

- 1 + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} \geq - \frac{1}{4}

, azaz

\begin{matrix} c = \frac{1}{2} vagy c \leq - \frac{1}{16} . \end{matrix}

II/C: Pontosan akkor nincs valós gyök, ha

c > \frac{1}{2}

Ahhoz, hogy az egyenletnek pontosan 3 különböző valós gyöke legyen, a következő esetek vezethetnek:

(i)

teljesül I/A és II/A, és a 2-2 gyök közül 1-1 megegyezik egymással;

(i i)

I/A és II/B teljesül, és utóbbi megoldása az I/A-beli eset mindkét gyökétől különbözik;

(i i i)

I/B és II/A teljesül, és a kétféle gyökök között nincs egyezés.
Az

(i)

esetben

\frac{3}{2} > c \geq - \frac{1}{16}

és

\frac{1}{2} > c > - \frac{1}{16}

szerint

- \frac{1}{16} < c < \frac{1}{2}

. Mivel

\begin{matrix} 1 + \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} > - 1 + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} > - 1 - \sqrt[]{\frac{1}{2} - c}, \end{matrix}

csak

\begin{matrix} 1 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} = - 1 + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} vagy 1 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} = - 1 - \sqrt[]{\frac{1}{2} - c} \end{matrix}

eset lehetséges. Rendezve és mindkét oldalt négyzetre emelve mindkét esetnél ugyanaz az eredmény adódik:

\begin{matrix} 2 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} = + \sqrt[]{\frac{1}{2} - c}, illetve 2 - \sqrt[]{\frac{3}{2} - c} = - \sqrt[]{\frac{1}{2} - c}, \\ 4 + \frac{3}{2} - c - \sqrt[]{24 - 16 c} = \frac{1}{2} - c, \\ 5 = \sqrt[]{24 - 16 c}, 25 = 24 - 16 c, c = - \frac{1}{16}, \end{matrix}

ami ebben az esetben lehetetlen.
Az

(i i)

esetben

\frac{3}{2} > c \geq - \frac{1}{16}

, és

c = \frac{1}{2}

vagy

c \leq - \frac{1}{16}

, tehát

c = \frac{1}{2}

vagy

c = - \frac{1}{16}

. Ha

c = \frac{1}{2}

, akkor a gyökök: 2, 0 és

- 1

;

c = - \frac{1}{16}

esetén pedig

\frac{9}{4}

- \frac{1}{4}

és

- \frac{7}{4}

; mindkét eset megfelelő.
A

(i i i)

esetben

c = \frac{3}{2}

vagy

c < - \frac{1}{16}

, és

- \frac{1}{16} < c < \frac{1}{2}

, ez az eset nem következhet be.
Tehát pontosan akkor van 3 különböző valós gyök, ha

c = \frac{1}{2}

vagy

- \frac{1}{16}