Kezdőlap


Feladat:	C.943	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Marton Kata
Füzet:	2009/április, 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Kör geometriája, Hossz, kerület, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: C.943

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $O A B$ körcikk kerülete:

\begin{matrix} K = 2 r + r α . & (1) \end{matrix}

A körcikk területe 100 egység, ezért:

\begin{matrix} T = \frac{r^{2} α}{2} = 100. & (2) \end{matrix}

Az (1)-ből

α = \frac{K - 2 r}{r}

α

értékét (2)-be behelyettesítve:

\begin{matrix} 100 = \frac{r^{2} \cdot \frac{K - 2 r}{r}}{2}, amiből r K = 2 r^{2} + 200, K = 2 r + \frac{200}{r} . \end{matrix}

A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség segítségével oldhatjuk meg a feladatot. A számtani közép akkor lesz minimális, ha egyenlő a mértani középpel, és ekkor a két érték egyenlő egymással. Ezek alapján

\begin{matrix} K = 2 r + \frac{200}{r} \geq 2 \sqrt[]{2 r \cdot \frac{200}{r}} = 2 \cdot \sqrt[]{400} = 40. \end{matrix}

K

kerület akkor lesz minimális, ha

K = 40

. Ez akkor teljesül, ha

2 r = \frac{200}{r}

, azaz

r = 10

(nyilvánvalóan

r > 0)

.
Természetesen a

K = 40

, azaz

2 r + \frac{200}{r} = 40

összefüggésből is megkaphatjuk az

r

értékét. Átalakítások után

{(r - 10)}^{2} = 0

, azaz

r = 10

.
A fentiek alapján a 100 egység területű, minimális kerületű körcikk sugara:

r = 10

egység.