Kezdőlap


Feladat:	C.941	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Remete László
Füzet:	2009/április, 204 - 205. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Thalesz tétel és megfordítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: C.941

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A terem közepén lévő lámpa által megvilágított 6 m átmérőjű kör egyik átmérőjének két végpontja ( $A$ és $B$ pont), valamint a lámpa (a $C$ pont) egy derékszögű háromszöget alkot (1. ábra).

1. ábra

Ez a háromszög egyenlő szárú is, mert a lámpa nincs elfordítva. Így

A M = B M = C M = 3

m, így ennek a háromszögnek az átfogóhoz tartozó magassága 3 m. Ezek alapján a terem magassága 3 méter.
A másik lámpánál (2. ábra) is egy derékszögű háromszög keletkezik, de ott az átfogó 10 m-es:

q + p = 10

. A magasságtételből:

p q = 9

. Tehát

p + q = p q + 1

, amit

(p - 1) (1 - q) = 0

alakban is írhatunk. Ez csak akkor 0, ha

p - 1 = 0

vagy

1 - q = 0

2. ábra

p

és a

q

közül az egyik 1 méter, ekkor a másik 9 méter. A terem közepe 5 m-nél, ez a lámpa pedig 1 m-nél van. Tehát a lámpák 4 m-re vannak egymástól.

II. megoldás. Az

A G B

háromszögben az

A B

oldallal szemközti szög,

A G B ∢ = 90^{\circ}

, így Thalész tétele szerint

A E = E B = E G = \frac{10}{2} = 5

3. ábra

Tudjuk, hogy

C E = E D = 3

. Mivel a

C F D

háromszögben

C D

-vel szemben

90^{\circ}

-os szög található, azért szintén a Thalész-tétel miatt

E F = 3

.
Végül az

E F G

háromszögre Pitagorasz tételét felírva kapjuk, hogy

F G^{2} = E G^{2} - F E^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16

, ahonnan

F G = 4