Kezdőlap


Feladat:	C.928	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Solt
Füzet:	2009/április, 200. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Számtani sorozat, Négyzetszámok tulajdonságai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: C.928

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sorozat felbontható két számtani sorozatra, s ezek felhasználásával meghatározhatjuk a megmaradt számok összegét.
Az eredeti sorozatban $a_{1} = 1$ , $d = 1$ és $n = 50 k$ , ahol $k$ pozitív egész. A számtani sorozat összegképlete szerint:

\begin{matrix} S_{n} = \frac{50 k}{2} (1 + 1 + (50 k - 1)) = 25 k (50 k + 1) . \end{matrix}

A másik sorozatba az 50-nel osztható számok kerülnek. A sorozat első tagja 50, a differenciája 50 és a tagok száma

k

. A sorozat első

k

tagjának összege:

\begin{matrix} S_{k} = \frac{k}{2} (100 + (k - 1) \cdot 50) = \frac{k}{2} (50 + 50 k) . \end{matrix}

A megmaradt számok összegét a két sorozat összegének különbsége adja:

\begin{matrix} S_{n} - S_{k} & = 25 k (50 k + 1) - \frac{k}{2} (50 + 50 k) = 25 \cdot 50 k^{2} + 25 k - 25 k - 25 k^{2} = \\ = 25 k^{2} (50 - 1) = k^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7^{2}, \end{matrix}

ez pedig négyzetszám.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.