Kezdőlap


Feladat:	740. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1968/október, 91 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Forgási energia, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Gördülés lejtőn, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/január: 740. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mechanikai energiamegmaradás törvényét alkalmazzuk. Egy-egy henger tömege $m$ , rádiusza $r$ , a gerenda tömege $M$ . A hengerek középpontja $a$ , a gerenda $2 a$ gyorsulással mozog (1. ábra).

1. ábra

t

idő alatt a hengerek középpontjainak útja

a t^{2} / 2

, a gerenda útja

a t^{2}

. Az e1ért sebesség a hengerek középpontjainál

v = a t

, a gerendánál

2 v = 2 a t

. A hengerek szögsebessége

ω = v / r

.
A súly munkavégzése a hengereknél

2 m g \cdot a t^{2} sin α / 2 = m g a t^{2} sin α

, a gerendánál

M g a t^{2} sin α

.
A hengerek együttes mozgási energiája a középpontok haladó mozgása folytán :

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{m v^{2}}{2} = m v^{2} = m a^{2} t^{2} . \end{matrix}

A hengerek együttes mozgási energiája forgásuk következtében:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{ω^{2} I}{2} = ω^{2} I = a^{2} t^{2} I / r^{2} . \end{matrix}

Itt

I

egy henger tehetetlenségi nyomatéka.
A gerenda mozgási energiája:

\begin{matrix} \frac{M {(2 v)}^{2}}{2} = 2 M v^{2} = 2 M a^{2} t^{2} . \end{matrix}

Az energiatétel szerint:

\begin{matrix} m g a t^{2} sin α + M g a t^{2} sin α = m a^{2} t^{2} + a^{2} t^{2} I / r^{2} + 2 M a^{2} t^{2} . \end{matrix}

Innen a hengerek középpontjainak gyorsulása:

\begin{matrix} a = \frac{m + M}{m + I / r^{2} + 2 M} \cdot g sin α . \end{matrix}

Felhasználva a tömör henger

I = m r^{2} / 2

tehetetlenségi nyomatékát:

\begin{matrix} a = 2 \cdot \frac{m + M}{3 m + 4 M} \cdot g sin α . \end{matrix}

A gerenda gyorsulása ennek kétszerese:

2 a = 4 \cdot \frac{m + M}{3 m + 4 M} \cdot g sin α

.
Ez több, mint a lejtőn való sima lecsúszásnál létrejövő

g \cdot sin α

. Tehát a hengerek előretolják a gerendát. A számításból a rádiusz kiesik.
Számadatainkkal:

m = 80

kg,

M = 100

kg,

sin α = 0, 5

a = 9 g / 32 = 2, 76

m/s

^{2}

2 a = 9 g / 16 = 5, 52

m/s

^{2}

Kiss Attila (Zalaegerszeg, Ságvári g. IV. o. t.)

Il. megoldás. Számoljunk az erőkkel. Egyszerűség kedvéért egyesítsük a két hengert egyetlen

2 m

tömegű hengerré és tegyük rá az

M

tömegű gerendát (2. ábra).

2. ábra

A lejtőre merőleges erőösszetevőkkel nem kell foglalkoznunk, mert ezeket az anyagok rugalmas erői ellensúlyozzák. A gerenda és a henger között

S_{1}

súrlódási erő keletkezik; ezzel tolja előre a henger a gerendát és ezzel tolja vissza a henger tetejét a gerenda. Az

M

tömegű gerenda

2 a

gyorsulással mozog az

M g sin α

és

S_{1}

erők együttes hatására :

\begin{matrix} M g sin α + S_{1} = 2 M a . \end{matrix}

A henger és a lejtő találkozási pontjában a lejtő

S_{2}

súrlódási erővel húzza felfelé a henger alsó szélét. Ugyanekkor a henger alsó széle a lejtőt

S_{2}

súrlódási erővel húzza lefelé, de ezzel az erővel nem kell foglalkoznunk, mert a lejtő a földhöz van rögzítve. A henger középpontjában

\pm S_{1}

és

\pm S_{2}

erőket veszünk fel. Itt a középpontban

S_{1}

és

S_{2}

levonódik a

2 m

tömegű hengereket a lejtő irányában mozgató

2 m g sin α

erőből; a megmaradt erő hatására mozog a hengerek középpontja

a

gyorsulással:

\begin{matrix} 2 m g sin α - S_{1} - S_{2} = 2 m a . \end{matrix}

A henger

a / r

szöggyorsulással forog.

S_{2}

erő (és a középpontban felvett párja) előre,

S_{1}

erő (és a középpontban felvett párja) hátra forgatja a hengert

S_{2} r

, illetve

S_{1} r

forgatónyomatékokkal. A hengerek együttes tehetetlenségi nyomatéka

2 m r^{2} / 2 = m r^{2}

. A forgás alaptörvénye szerint:

\begin{matrix} \frac{a}{r} = \frac{S_{2} r - S_{1} r}{m r^{2}} . \end{matrix}

E három egyenletből mint egyenletrendszerből számítjuk ki a gyorsulást és

S_{1} S_{2}

súrlódási erőket. Az eredmény:

\begin{matrix} a = 2 g sin α \cdot \frac{m + M}{3 m + 4 M}, \end{matrix}

\begin{matrix} S_{1} = M g sin α \cdot \frac{m}{3 m + 4 M}, \end{matrix}

\begin{matrix} S_{2} = m g sin α \cdot \frac{2 m + 3 M}{3 m + 4 M} . \end{matrix}

A mi esetünkben

S_{1} = 12,5 g sin α = 6,25

kp,

S_{2} = 57,5 g sin α = 28,75

kp.
A súrlódási együttható. A henger és gerenda találkozási pontján a súrlódási együttható minimális értéke

S_{1}

és

M g cos α

merőleges nyomóerő hányadosa:

\begin{matrix} μ_{1} = \frac{S_{1}}{M g cos α} = \frac{m}{3 m + 4 M} \cdot tgα. \end{matrix}

A henger és lejtő találkozási pontjában a súrlódási együttható minimális értéke

S_{2}

és

M g cos α + 2 m g cos α

merőleges nyomóerő hányadosa:

\begin{matrix} μ_{2} = \frac{S_{2}}{M g cos α + 2 m g cos α} = \frac{m (2 m + 3 M)}{(2 m + M) (3 m + 4 M)} \cdot tgα. \end{matrix}

A mi esetünkben

μ_{1} = tgα/8=0,0722

és

μ_{2} = 23 tgα/104=0,127