Kezdőlap


Feladat:	2008. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Füzet:	2009/március, 171 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Eötvös Loránd (korábban Károly Irén)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: 2008. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Hogyan lehet három test közül a leghidegebbet még tovább hűteni? Nincs nála hidegebb test, amivel kapcsolatba hozhatnánk. Adiabatikus munka végzésére sincs lehetőség, a testek most csak hőfelvétel vagy hőleadás során változtathatják meg a hőmérsékletüket.
Semmi kétség: hűtőgépre van szükségünk! Viszont minden hűtőgép működtetéséhez külső energiaforrás kell, ami most nem áll rendelkezésre.
Illetve mégis van egy kiút: ha a két különböző hőmérsékletű másik test felhasználásával működtetünk egy hőerőgépet! Azt a munkát, amit ebből nyerünk, felhalmozzuk egy energiatárolóban. Mire a két melegebb test között végül megszűnik a hőmérsékletkülönbség, az így előállt ,,középmeleg'' test és a hideg test közé már beiktathatunk egy hűtőgépet, amely az előbb nyert munka befektetésével biztosan működik valameddig. Ennek eredményeképpen a hideg test tovább hűl. Már csak azt kell kiszámítanunk, mennyire hűl le.
$b)$ Először azt számítsuk ki, mennyi munka nyerhető a kezdetben $T_{1} = 90^{\circ} C = 363 K$ és $T_{2} = 27^{\circ} C = 300 K$ hőmérsékletű, $m$ tömegű, $c$ fajhőjű testek között működtetett hőerőgép segítségével! A legnagyobb munkát akkor nyerjük, ha egyensúlyi folyamatokat végző, úgynevezett reverzibilis Carnot-gépet használunk. $Q_{1}$ -gyel, illetve $Q_{2}$ -vel jelölve e körfolyamatot végző gép egyetlen ciklusában a $T_{1}$ , illetve $T_{2}$ hőmérsékletű testektől felvett hőt, $Q_{1} > 0$ és $Q_{2} < 0$ , ha $T_{1} > T_{2}$ . Ekkor a ciklusonként végzett munka a termodinamika első főtétele szerint:

\begin{matrix} W = Q_{1} + Q_{2} . \end{matrix}

Ugyanakkor a termodinamika második főtétele szerint

\begin{matrix} \frac{Q_{1}}{T_{1}} + \frac{Q_{2}}{T_{2}} = 0 (η = \frac{W}{Q_{1}} = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}) . \end{matrix}

Egyetlen ciklus még alig változtatja meg a hőtartálynak tekinthető testek hőmérsékletét, elég sok ciklus után azonban egyre közelebb kerül egymáshoz a két test hőmérséklete.
Hogyan függ össze ez a két hőmérséklet? Helyettesítsük be a második főtételbe

\begin{matrix} Q_{1} = - c m Δ T_{1} és Q_{2} = - c m Δ T_{2} \end{matrix}

értékeit (a negatív előjel azért kell, mert ami a munkavégző közeg szempontjából felvett hő, az a hőtartályok szempontjából leadott hőnek számít):

\begin{matrix} \frac{- c m Δ T_{1}}{T_{1}} + \frac{- c m Δ T_{2}}{T_{2}} = 0. \end{matrix}

Innen kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{Δ T_{1}}{T_{1}} + \frac{Δ T_{2}}{T_{2}} & = 0, \\ T_{2} Δ T_{1} + T_{1} Δ T_{2} = Δ (T_{1} T_{2}) & = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} T_{1} T_{2} = állandó. \end{matrix}

Tehát úgy változik a két test abszolút hőmérséklete, hogy a szorzatuk állandó marad! (Ez akkor és csak akkor van így, ha a két test hőkapacitása egyenlő; de ez most teljesül.) Végül is egy olyan közös hőmérséklet áll be, amelyre

\begin{matrix} T_{közös}^{2} = T_{1} T_{2}, \end{matrix}

vagyis a közös hőmérséklet a kezdeti hőmérsékletek mértani közepe lesz. Esetünkben

\begin{matrix} T_{közös} = \sqrt[]{363 K \cdot 300 K} = 330 K . \end{matrix}

A melegebb test által leadott hő nagysága (a hőmérséklet kelvin mértékegységének kiírása nélkül):

\begin{matrix} c m \cdot (363 - 330) = c m \cdot 33. \end{matrix}

A hidegebb test által felvett hő nagysága:

\begin{matrix} c m \cdot (330 - 300) = c m \cdot 30. \end{matrix}

Így az összesen nyert munka:

c m \cdot 3

, ezt használhatjuk fel majd a hűtőgép meghajtására.
Most már foglalkozhatunk a hűtőgéppel, aminek az alsó hőtartálya lesz a

c

fajhőjű,

2 m

tömegű,

T_{3} = 13^{\circ} C = 286 K

hőmérsékletű test. A felső hőtartály is

c

fajhőjű, és ugyancsak

2 m

tömegű, az előző folyamat végén nyert 330 K hőmérsékletű test. Ismét két azonos hőkapacitású testről van szó, vagyis most is állandó marad a két (abszolút) hőmérséklet szorzata.
Jelöljük

T

-vel az a kiszámítandó hőmérsékletet, amire a hideg test lehűl, és

T^{⋆}

-gal azt a hőmérsékletet, amire a két másik test felmelegszik. Ekkor tehát

\begin{matrix} T \cdot T^{⋆} = 286 \cdot 330, \end{matrix}

és az energiaegyenlet:

\begin{matrix} c \cdot 2 m (T^{⋆} - 330) - c \cdot 2 m (286 - T) = c m \cdot 3. \end{matrix}

A fenti két egyenlet már meghatározza a keresett

T

és

T^{⋆}

értékeket:

\begin{matrix} T = 278 K = 5^{\circ} C, T^{⋆} = 339, 5 K = 66, 5^{\circ} C . \end{matrix}

Vagyis a kezdetben

13^{\circ} C

-os test végül is

5^{\circ} C

-osra hűthető le. Ezt kellett kiszámítanunk.