Feladat: B.4077 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Lamm Éva 
Füzet: 2009/március, 156. oldal  PDF file
Témakör(ök): Rácsgeometria, Konvex sokszögek, Súlypont, Konstruktív megoldási módszer, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: B.4077

Bizonyítsuk be, hogy bármely konvex rácskilencszögnek van három olyan csúcsa, amelyek által meghatározott háromszög súlypontja szintén rácspont.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A rácspontokat a koordináták 3-as maradéka alapján 9 csoportba tudjuk osztani. Ha a 9 rácspont között van 3 olyan, amely ugyanabba a csoportba tartozik, akkor az általuk meghatározott háromszög súlypontja rácspont.
Ha semelyik csoportban sincs 3 csúcspont, akkor mindegyik csoportban 0, 1 vagy 2 pont van. A maradékok szerinti csoportokat rendezzük a következő táblázatba:

(0;0)(0;1)(0;2)(1;0)(1;1)(1;2)(2;0)(2;1)(2;2)
Ha a csúcspontok csak négyféle csoportból kerülnének ki, akkor legfeljebb 42=8 csúcspont lenne. Tehát legalább 5-féle csúcspont van a rácskilencszögben.
Ha az 5-féle csúcspont közül 3 egy sorban vagy egy oszlopban van, akkor az ezek által meghatározott háromszög megfelelő.
Ha van 3 olyan, ami különböző sorban és különböző oszlopban van, ezek szintén megfelelnek.
Próbáljunk meg 5 pontot kiválasztani a táblázatból úgy, hogy semelyik három ne legyen egy sorban, illetve egy oszlopban, és semelyik háromra ne teljesüljön, hogy mind különböző sorban és oszlopban vannak. Ekkor két sorból 2, egyből pedig 1 pontot kell választani.
Ha az 1. sorból kiválasztunk kettőt, és a 2.-ból pedig egy olyat, ami az egyik előbbivel megegyező oszlopban van, akkor a 3. sorból már csak egyet tudunk a feltételeknek megfelelően kiválasztani.
Ugyanez a helyzet, ha a 2. sorból olyat választunk, ami az első sor mindkét elemétől különböző oszlopban van.
Tehát bárhogyan választunk ki így 5 csoportot, ezek közül lesz három, amelyekbe tartozó három pont által meghatározott háromszög súlypontja is rácspont.