|
Feladat: |
B.4065 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ágoston Tamás , Bodor Bertalan , Bóra Eszter , Bunth Gergely , Fonyó Dávid , Fukker Gábor , Gévay Gábor , Horváth Vanda , Nguyen Milán , Palincza Richárd , Peregi Tamás , Réti Dávid , Salát Zsófia , Strenner Péter , Szalkai Balázs , Szőke Nóra , Varga Bálint |
Füzet: |
2009/március,
153 - 155. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gráfok összefüggősége, Részgráfok, Konstruktív megoldási módszer, Teljes indukció módszere, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2008/február: B.4065 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Alkalmazzunk teljes indukciót az élszám és a csúcsszám összegére, -re. Két csúcsú ilyen gráf nincs; három csúcsú egy van, a háromszög, és arra nyilván igaz az állítás. Ekkor , és ez az egyetlen ilyen gráf. Az ábrán látható az összes gráf és esetén (-re nincs megfelelő gráf). Ezen gráfok mindegyik csúcsa megfelelő csúcs.
Legyen és tegyük fel, hogy az állítás esetén igaz. Két esetet különböztetünk meg. 1) A gráfban van pontosan 2-fokú csúcs. Hagyjuk el ezt a csúcsot a gráfból a belőle induló két éllel együtt. Ha két szomszédját még nem köti össze él, akkor húzzuk be azt. Ekkor a megmaradt gráfban értéke 2-vel vagy 3-mal csökken, és így az indukció szerint igaz rá az állítás. Ha egy kör valamely éle az esetleg újonnan megjelenő él, akkor vegyük az elhagyott csúcsot a hozzá tartozó 2 éllel, így újra kört kapunk; a többi kör esetén pedig nincs szükség változtatásra. 2) Minden csúcs foka legalább 3. Ekkor bármely él elhagyásával egyrészt értéke csökken 1-gyel, másrészt a megmaradt gráfban is minden fokszám legalább 2, tehát van benne megfelelő csúcs. Nem mindegy, hogy melyik élt hagyjuk el: csak olyat hagyhatunk el, amelyik egy körön fekszik. (Mivel a gráfban minden csúcs foka legalább 2, így biztosan van benne kör.) Tekintsük a megmaradt gráfban az indukció szerint létező csúcsot. Ha ez a csúcs az elhagyott él egyik végpontjával sem esik egybe, akkor annak visszavétele után is jó lesz a keresett tulajdonságú csúcsnak. Ha pedig ezen él valamelyik végpontja, akkor az él visszavétele után erre az élre is teljesülni fog, hogy benne van egy körben ‐ éppen ezért nem választottuk tetszőlegesen az elhagyott élt. Az állítás tehát mindkét esetben igaz -ra.
II. megoldás. Legyen a gráfban található leghosszabb út , ennek egyik végpontja pedig . Egy él már biztosan kiindul -ból, ennek másik végpontját jelölje . Mivel a gráfban minden csúcs fokszáma legalább 2, azért -ból legalább még egy további él kiindul. Egy ilyen él nem lehet hurokél, mert egyszerű gráf. Az él -tól különböző végpontja -ben kell hogy legyen, ellenkező esetben ugyanis lenne -nél hosszabb út a gráfban. Legyen ez a végpont . Az -nek az és csúcsot összekötő része (ami szintén út, és tartalmazza -t) és az ‐ él kört alkotnak. Ez bármely -ból induló, -től különböző élre elmondható. Az él pedig az összes ilyen körben benne van. Így minden -ból induló él benne lesz egy körben. Tehát az csúcs megfelelő. III. megoldás. Végtelen gráfra az állítás nem igaz, hiszen például egy egyenes mentén elhelyezett, végtelen csúcsú gráfban, melyben a szomszédos csúcsokat köti össze él, nincs kör. Tegyük föl, hogy a gráf véges, és nem igaz rá az állítás, azaz minden csúcsához van belőle kiinduló olyan él, amely nincs benne egy körben sem. Az ilyen élt a továbbiakban nevezzük rossz élnek. Mivel a gráf minden csúcsának legalább 2 a fokszáma, biztosan tartalmaz kört. Tekintsünk -ben egy kört. Ennek minden csúcsából kiindul egy rossz él, ami így nincs benne -ben. Vegyük a kör valamely csúcsát, s az ebből kiinduló rossz él másik végpontját véve második csúcsnak, induljunk el -ből a rossz él irányában. Ennek az élnek a másik végpontja legyen . Legyen egy lépés az, hogy egy csúcsból () a csúcsba lépünk úgy, hogy , valamint a és a csúcsot él köti össze. (A továbblépés mindig lehetséges, mert fokszáma legalább 2.) Addig menjünk, amíg vissza nem érünk egy olyan csúcsba, ahol már jártunk (ez biztosan bekövetkezik, mert véges). Ekkor sohasem juthatunk el a kör valamelyik csúcsába, mert ekkor onnan -be is eljuthatnánk, s ezáltal a kiinduló rossz él benne lenne egy körben, ami ellentmondás. Így a visszacsatlakozásig bejártunk egy -től diszjunkt kört. Ezután általában a körnek () vegyük egy attól a csúcstól különböző csúcsát, melynél beérkeztünk a körbe, majd egy ebből kiinduló rossz élt, s ezen induljunk el a fenti módszer szerint. Kapunk egy -től diszjunkt kört. Ez minden () körtől is diszjunkt, mert ezek egy csúcsába se juthattunk el a körből, hiszen ekkor ezekből a körbe is visszajuthatnánk, ezzel egy rossz élt egy körbe foglalva, ami nem lehetséges. Így pedig végtelen sok diszjunkt körnek kellene lennie -ben, ami nem lehetséges, hiszen véges. Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát a feladat állítását bebizonyítottuk. |
|