Kezdőlap


Feladat:	4073. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Najbauer Eszter Éva
Füzet:	2009/február, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Elektrosztatikus alapjelenségek, Egyéb elektromos mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: 4073. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A fémgömb és az elektrométer összeérintésekor a potenciálok kiegyenlítődnek, miközben a töltéseik összege ugyanannyi marad, mint kezdetben volt.
Ha a kezdeti potenciál $U = 3$ kV, és az első összeérintés után $U_{1}$ -re változik, akkor a töltésmegmaradást kifejező egyenlet:

\begin{matrix} C_{1} U = C_{1} U_{1} + C_{2} U_{1}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} U_{1} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} U . \end{matrix}

Ebben a képletben

C_{1}

az elektrométer kapacitását,

C_{2}

pedig a szigetelő nyélre erősített fémgömb kapacitását jelöli.

Megjegyzés. Az összeérintés során az egymáshoz közeli fémgömbök polarizálják is egymást, elektromos terük lényegesen eltérhet a gömbszimmetrikus Coulomb-mezőtől, emiatt a rajtuk levő töltés nem pontosan a különálló gömbök kapacitásával arányosan oszlik meg, hanem csak igen bonyolult számítással határozható meg. Annyi azonban igaz, hogy az

U_{1}

potenciál arányos lesz az eredeti

U

potenciállal, és az arányossági tényező csak a gömbök geometriai méretétől függő szám.

A fémgömb és az elektrométer második összeérintése után a közös potenciál

\begin{matrix} U_{2} = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}} U_{1} = {(\frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}})}^{2} U, \end{matrix}

és általában az

n

-edik érintés után

\begin{matrix} U_{n} = q^{n} U \end{matrix}

lesz, ahol

q = \frac{C_{1}}{C_{1} + C_{2}}

, vagy (ha pontosabb számolásra is vállalkozunk) valamekkora, elvben kiszámítható állandó.
Ismerve

U_{10}

számszerű értékét a

q

arányt kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} q = \sqrt[10]{\frac{U_{10}}{U}} = \sqrt[10]{\frac{1, 5 kV}{3 kV}} = 0, 933, \end{matrix}

és azt is meghatározhatjuk, hogy hány összeérintés után csökken a potenciál 1 kV alá:

\begin{matrix} U_{n} = q^{n} \cdot (3 kV) < 1 kV, ahonnan n > \frac{log \frac{1}{3}}{log q} = 15, 8. \end{matrix}

Ezek szerint legalább 16-szor, az első 10 érintést követően még 6-szor kell összeérintenünk a fémgömböt az elektrométerrel, hogy a kívánt potenciálcsökkenést elérjük.