Feladat: 4062. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Tolner Ferenc 
Füzet: 2009/február, 113 - 114. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Felületi feszültségből származó energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: 4062. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A levegőben levő kicsiny vízcseppek (a σ állandóval jellemezhető) felületi feszültség hatására a lehető legkisebb felszínű alakot igyekeznek felvenni, ez pedig (adott térfogat esetén) a gömb.
Számítsuk ki, hogy hány darab r=25 nm sugarú vízcsepp egyesüléséből jöhet létre egyetlen R=1mm sugarú csepp! Az anyagmegmaradás törvénye szerint (ami a jelen esetben a vízcseppek térfogatának állandóságát jelenti):

N4πr33=4πR33,
ahonnan az egyesülő cseppek száma:
N=(Rr)3=(10-32510-9)3=6,41013.

A keletkező nagy csepp felülete kisebb, mint az eredeti, kisebb cseppek felszínének összege. Ennek megfelelően a felületi feszültségből származó energiaváltozás
ΔEfelületi=σ(N4πr2-4πR2)=4πR2σ(Rr-1)4πσR3r.
(Az utolsó lépésnél kihasználtuk, hogy Rr.)
Tételezzük fel, hogy a felületi energia fentebb kiszámított változása teljes egészében a vízcsepp belső (termikus) energiájának növelésére fordítódik. Ez utóbbi a ϱ sűrűségű, c fajhőjű víz ΔT hőmérsékletváltozásával fejezhető ki:
ΔEbelső=mcΔT=4πR33ϱcΔT.
Feltevésünk szerint
ΔEfelületi=ΔEbelső,
azaz
4πσR3r=4πR33ϱcΔT.
Innen a hőmérsékletváltozás:
ΔT=3σϱc1r2C.  

A keletkező nagy csepp hőmérséklete tehát kb. 7C lesz. (Érdekes, hogy ez az érték nem függ a nagy csepp R sugarától, ha az sokkal nagyobb, mint r.)
 
Megjegyzés. A megoldásban lényegesen kihasználtuk azt a feltevést, hogy a felületi feszültségből származó energiaváltozás a vízcseppek belső energiáját növeli, tehát hogy víz és a környező levegő között nincs energiaátadás. Ez a feltevés erősen megkérdőjelezhető!
A tényleges helyzet sokkal közelebb áll ahhoz, hogy a felszabaduló energia a víz és a környező levegő termikus energiáját növeli. Mivel még a legsűrűbb felhőben is sokkal nagyobb a levegő tömege, mint a benne levő vízé, az eredetileg 5C-os víz és a vele gyakorlatilag azonos hőmérsékletű levegő a cseppek egyesülése után változatlanul 5C-os marad, illetve ha az esőcseppek ettől eltérő hőmérsékletű légrétegbe kerülnek, ott a környező levegő hőmérsékletét veszik fel.