Kezdőlap


Feladat:	4047. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maknics András
Füzet:	2009/február, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test síkmozgások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: 4047. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ Súrlódásmentes talajon a pálcára csak függőleges irányú erők hatnak, emiatt a kezdetben álló pálca tömegközéppontja csak függőlegesen mozoghat.
A talajra csapódás pillanatában az impulzus vízszintes irányú komponensének megmaradása miatt a test egyetlen pontjának sem lehet vízszintes irányú sebessége. Tehát (az ábra jelöléseit követve) fennáll:
$v_{A, x} = 0$ , $v_{B, x} = 0$ .

A pálca alsó (

A

) végpontja a mozgás során mindvégig a talajon marad, így a függőleges sebessége a talajra érés pillanatában is

v_{A, y} = 0

.
Jelöljük a pálca szögsebességét (közvetlenül a talajhoz csapódást megelőző pillanatban)

ω

-val, az

A

pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékot pedig

Θ_{A}

-val! (Táblázati képlet szerint

Θ_{A} = \frac{1}{3} m ℓ^{2}

.) A pálca mozgási energiája a talajra érkezéskor

\begin{matrix} E_{m} = \frac{1}{2} Θ_{A} ω^{2} = \frac{1}{6} m ℓ^{2} ω^{2}, \end{matrix}

a helyzeti (magassági) energiájának csökkenése pedig a tömegközéppont helyzetének megváltozásából kapható meg:

\begin{matrix} E_{h} = m g \frac{ℓ}{2} . \end{matrix}

Az energiamegmaradás tétele szerint

E_{h} = E_{m},

azaz

\begin{matrix} \frac{1}{6} m ℓ^{2} ω^{2} = m g \frac{ℓ}{2}, \end{matrix}

ahonnan a pálca szögsebességére

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{3 g}{ℓ}} . \end{matrix}

Megjegyzés. A pálca mozgási energiáját azért számolhattuk úgy, mintha az

A

ponton egy rögzített forgástengely haladna keresztül, mert az

A

pont sebessége a földre csapódás pillanatában nulla.

A szögsebesség ismeretében könnyen számolható a

B

pont függőleges irányú sebessége:

\begin{matrix} v_{B, y} = r_{B} ω = ℓ \sqrt[]{\frac{3 g}{ℓ}} = \sqrt[]{3 g ℓ} . \end{matrix}

Összefoglalva: a pálca vízszintes helyzetbe kerülésekor (közvetlenül a talajhoz ütközés előtt) az

A

végpont sebessége nulla, a

B

pont pedig

\sqrt[]{3 g ℓ}

nagyságú, függőlegesen lefelé irányuló sebességgel rendelkezik.

b)

A pálca mozgási energiája minden (az ütközésnél korábbi) pillanatban a helyzeti energia csökkenésével egyezik meg, tehát a földetéréskor

\begin{matrix} E_{m} = m g \frac{ℓ}{2} . \end{matrix}