Kezdőlap


Feladat:	4046. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hegyi Ádám
Füzet:	2009/február, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Matematikai inga, Lejtő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: 4046. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük azt az esetet, amikor a pálya által a testre kifejtett nyomóerő a félkörív és a parabola csatlakozásánál, a $P$ pontban éppen nullává válik! Belátható, hogy ilyenkor a nyomóerő a mozgás korábbi részén mindenhol pozitív, tehát a test nem válik el a körívtől.

Jelöljük a test

P

pontbeli sebességét

v_{0}

-lal! A körív végén a test centripetális gyorsulása

\frac{v_{0}^{2}}{R}

, ezt a gyorsulást (nyomóerő hiányában) az

m g

nehézségi erő sugár irányú komponensének kell biztosítania:

\begin{matrix} m g cos α = m \frac{v_{0}^{2}}{R}, ahonnan v_{0} = \sqrt[]{R g cos α} . \end{matrix}

Ha a test ekkora sebességgel érkezik a

P

pontba, és ott ‐ a feladat szövege szerint ‐ a nyomóerő nem változik ugrásszerűen (tehát nulla marad), akkor a test a ferde hajítás képleteinek megfelelően szabadon esve parabola alakú pályán fog mozogni (miközben a pálya és a test között nem lép fel erőhatás). A ferde hajítás kezdősebességének függőleges komponense

v_{0} sin α

, innen ‐ az energiatétel felhasználásával ‐ adódik a parabolaív magassága:

\begin{matrix} m g h = \frac{1}{2} m {(v_{0} sin α)}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} h = \frac{v_{0}^{2} sin^{2} α}{2 g} = \frac{R}{2} sin^{2} α cos α = R \frac{\sqrt[]{2}}{8} \approx 0, 18 R . \end{matrix}

Az indítási helyzet

H

magasságát ugyancsak az energiamegmaradás törvényéből számíthatjuk ki. A kezdeti és a

P

pontbeli energiákat összehasonlítva:

\begin{matrix} m g H = m g R (1 + cos α) + \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

v_{0}

korábban kiszámított értékének felhasználásával kapjuk:

\begin{matrix} H = R (1 + \frac{3}{2} cos α) = \frac{3 \sqrt[]{2} + 4}{4} R \approx 2, 06 R . \end{matrix}

Ha ilyen magasról engedjük el a testet, az éppen végighalad a pályán anélkül, hogy bárhol elválna annak ívétől. Természetesen ennél nagyobb indítási magasság esetén is végbemegy a mozgás. Ilyenkor a nyomóerő sehol nem válik nullává, még a

P

pontban is pozitív.