Feladat: B.4092 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Huszár Kristóf 
Füzet: 2009/február, 95 - 96. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Legnagyobb közös osztó, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/május: B.4092

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A következő eljárással megadható a feltételeknek megfelelő pozitív egészekből álló számnégyes.
Legyen a négy szám a, b, c és d. A következő táblázatban ezen számok prímtényezős felbontásban szerepelnek:

abcd2    2    3    3    5    5  7    7    11    11  13  11     13  a=2⋅7⋅13=182,   b=2⋅3⋅11=66,   c=3⋅5⋅7=105,  d=5⋅11⋅13=715.  


A táblázat úgy készült, hogy bármely két oszlopot kiválasztva van pontosan egy prímszám, amely pontosan ebben a két oszlopban szerepel, így nincs olyan prím, amely legalább 3 oszlopban szerepel. Így, mivel a prímtényezős felbontás egyértelmű, a {66;105;182;715} számnégyes megfelel a feltételeknek.
 
Megjegyzések. 1. Mivel a prímek száma végtelen, azért végtelen sok ilyen számnégyes létezik.
2. A fentiekben leírt ,,táblázatos módszer'' felhasználásával a feladat általánosan is megoldható: ha n;k∈Z+, n≥k+1, akkor megadható n darab pozitív egész, hogy közülük bármely k darab legnagyobb közös osztója nagyobb mint 1, és bármely (k+1) darab legnagyobb közös osztója 1. A megfelelő táblázatnak (nk) sora lesz, és nyilván ugyanennyi prímet használunk fel: az oszlopok minden k-asához nyitunk egy (új) sort, választunk egy (új) prímszámot, és azt beírjuk a sor megfelelő k helyére.