Kezdőlap


Feladat:	C.942	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Árva Gergõ , Cserjési Szilárd
Füzet:	2009/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Mértani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: C.942

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A számtani, illetve mértani sorozat $n$ . tagjára vonatkozó képlet alapján:

\begin{matrix} 81 = 1 + (n - 1) d, \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} 81 = q^{n - 1} . \end{matrix}

(2)

(1)-ből

d = \frac{80}{n - 1}

, ahonnan

\frac{q}{d} = 0, 15

alapján

\begin{matrix} q = 0, 15 d = 0, 15 \cdot \frac{80}{n - 1} = \frac{12}{n - 1} . \end{matrix}

Ezt (2)-be beírva kapjuk, hogy

81 = {(\frac{12}{n - 1})}^{n - 1}

.
Itt

n - 1 \geq 13

esetén

\frac{12}{n - 1} \leq 1

, így

{(\frac{12}{n - 1})}^{n - 1} \leq 1

lenne,

n = 13

esetén pedig

{(\frac{12}{n - 1})}^{n - 1} = 1

teljesülne. Tehát

2 \leq n \leq 12

. Nézzük meg ezt a 11 esetet:

\begin{matrix} {(\frac{12}{1})}^{1} & = 12; & {(\frac{12}{2})}^{2} & = 36; & {(\frac{12}{3})}^{3} & = 64; & {(\frac{12}{4})}^{4} & = 81; \\ {(\frac{12}{5})}^{5} & \approx 79, 63; & {(\frac{12}{6})}^{6} & = 64; & {(\frac{12}{7})}^{7} & \approx 43, 51; & {(\frac{12}{8})}^{8} & \approx 25, 63; \\ {(\frac{12}{9})}^{9} & \approx 13, 32; & {(\frac{12}{10})}^{10} & \approx 6, 19; & {(\frac{12}{11})}^{11} & \approx 2, 60. \end{matrix}

Látható, hogy csak

n = 5

esetén kapunk megoldást, ekkor

q = \frac{12}{4} = 3

és

d = \frac{80}{4} = 20

II. megoldás. A számtani sorozat definíciója alapján

\begin{matrix} (n - 1) d = a_{n} - a_{1} = 81 - 1 = 80, \end{matrix}

így

d = \frac{80}{n - 1}

. Mivel

\frac{q}{d} = 0, 15 = \frac{3}{20}

, így

d = \frac{20}{3} q

, azért

\frac{20}{3} q = \frac{80}{n - 1}

. Ebből

q = \frac{12}{n - 1}

adódik. Mivel

n \geq 2

és egész, a

q

pozitív racionális szám. Legyen

q = \frac{p}{s}

, ahol

(p, s) = 1

. Ekkor a mértani sorozatban

\begin{matrix} 81 = q^{n - 1} = \frac{p^{n - 1}}{s^{n - 1}} . \end{matrix}

Mivel

(p, s) = 1

, azért

s > 1

esetén ez nem lenne egész szám. Ezért

s = 1

, vagyis

q

pozitív egész szám. Ebből következik, hogy

n - 1 ∣ 12

és pozitív, tehát

n - 1

lehetséges értékei 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ekkor

q

, illetve

q^{n - 1}

értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2, 1 és 12, 36, 64, 81, 64, 1. Látható, hogy csak az

n - 1 = 4

ad jó megoldást, ekkor

d = \frac{80}{4} = 20

a_{n} = 1 + 4 \cdot 20 = 81

is teljesül. Tehát az egyetlen megoldás:

n = 5

q = 3

d = 20