Kezdőlap


Feladat:	C.925	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Ficzere Zsófia
Füzet:	2009/február, 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: C.925

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A nevezők miatt $x \neq 1$ , $y \neq 1$ . Mivel $x + y = 1$ , az $x = 1 - y$ , illetve az $y = x - 1$ helyettesítésekkel a következő átalakításokat tudjuk elvégezni:

\begin{matrix} \frac{x}{y^{3} - 1} + \frac{y}{1 - x^{3}} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = \\ = \frac{1 - y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \frac{1 - x}{(1 - x) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = \\ = - \frac{1}{y^{2} + y + 1} + \frac{1}{x^{2} + x + 1} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = \\ = \frac{- x^{2} - x - 1 + y^{2} + y + 1}{(y^{2} + y + 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = \\ = \frac{(y - x) {\overset{}{\overset{︷}{(y + x)}}}_{}^{1} + y - x}{(y^{2} + y + 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = \frac{2 (y - x)}{x^{2} y^{2} + 3} + \frac{2 (x - y)}{x^{2} y^{2} + 3} = 0. \end{matrix}

Felhasználtuk, hogy

\begin{matrix} (y^{2} + y + 1) (x^{2} + x + 1) & = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{2} + x y^{2} + x y + x + y^{2} + y + 1 = \\ = x^{2} y^{2} + x^{2} + x y {\overset{}{\overset{︷}{(x + y)}}}_{}^{1} + x y + y^{2} + {\overset{}{\overset{︷}{x + y}}}_{}^{1} + 1 = \\ = x^{2} y^{2} + {\overset{}{\overset{︷}{{(x + y)}^{2}}}}_{}^{1} + 2 = x^{2} y^{2} + 3. \end{matrix}

Vagyis az eredeti kifejezés értéke mindig 0, ezért állandó.