Kezdőlap


Feladat:	4063. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2009/január, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Foton (mint elemi részecske), Maghasadás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 4063. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a deuteron tömegét $m$ -mel, a proton és neutron tömegének összegét $m + Δ m$ -mel! (Az összetevők össztömegének és az összetett rendszer tömegének $Δ m$ különbségét tömeghiánynak, tömegdefektusnak nevezik.) Táblázati adatok szerint

\begin{matrix} \frac{Δ m}{m} \approx 1, 2 \cdot 10^{- 3} ≪ 1. \end{matrix}

f

frekvenciájú gammasugárzás éri a deuteront, a sugárzás egy-egy kvantuma

h f

energiát és

\frac{h f}{c}

impulzust hordoz (

h

a Planck-állandó,

c

pedig a fénysebesség vákuumban). Az elnyelődő gammakvantum hatására a deuteron protonra és neutronra esik szét. Ez a két részecske az impulzusmegmaradás törvénye szerint nem maradhat nyugalomban, valamekkora (esetleg egymástól különböző) sebességgel mozogniuk kell. Belátható (pl. a tömegközépponti koordinátarendszerből szemlélve a folyamatot), hogy a szétesést előidézni képes legkisebb frekvenciájú (energiájú) gammafoton olyan protont és neutront kelt, amelyek ugyanakkora (

v

) nagyságú és az elnyelődő fotonéval megegyező irányú sebességgel mozognak.
Az energiamegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} h f + m c^{2} = (m + Δ m) c^{2} + \frac{1}{2} (m + Δ m) v^{2}, \end{matrix}

(1)

az impulzusmegmaradás pedig

\begin{matrix} \frac{h f}{c} = (m + Δ m) v . \end{matrix}

(2)

Ezekben a képletekben a nyugalmi energiát feltüntettük, de egyébként a klasszikus (nemrelativisztikus) fizika összefüggéseit alkalmaztuk. Ezt azért tettük, mert ‐ várakozásunk szerint ‐ a meglökött részecskék sebessége sokkal kisebb lesz, mint a fénysebesség.
A (2) egyenletből (ha

Δ m

-t elhanyagoljuk

m

mellett)

\begin{matrix} h f = m v c \end{matrix}

(3)

adódik, amit (1)-be helyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{v}{c} = \frac{Δ m}{m} + \frac{1}{2} {(\frac{v}{c})}^{2} . \end{matrix}

(4)

A fenti egyenlet jobb oldalának utolsó (másodrendűen kicsi) tagját elhanyagolva a mozgó részecskék sebességére

\begin{matrix} v \approx \frac{Δ m}{m} c = 3, 6 \cdot 10^{5} \frac{m}{s} \end{matrix}

adódik. Ezt (2)-be helyettesítve (és

Δ m

-t ismét elhanyagolva

m

mellett) a keresett frekvenciára az

\begin{matrix} f = \frac{Δ m c^{2}}{h} \approx 5 \cdot 10^{20} Hz \end{matrix}

értéket kapjuk. (Ez valóban a gammasugárzás frekvenciatartományába esik.)
(G. P.)