Kezdőlap


Feladat:	4056. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Török Csaba
Füzet:	2009/január, 46 - 47. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: 4056. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A fellőtt test sebessége, illetve emelkedési magassága $t$ idővel a fellövés után

\begin{matrix} v_{1} (t) = v_{0} - g t, illetve h_{1} (t) = v_{0} t - \frac{g}{2} t^{2} . \end{matrix}

(A felfelé történő mozgás sebességét tekintjük pozitívnak.) Az elejtett test sebessége, illetve a test által megtett út ugyanekkor

\begin{matrix} v_{2} (t) = - g t, illetve h_{2} (t) = \frac{g}{2} t^{2} . \end{matrix}

Az ütközés

t_{0}

pillanatában

\begin{matrix} h_{1} + h_{2} = h, azaz v_{0} t_{0} - \frac{g}{2} t_{0}^{2} + \frac{g}{2} t_{0}^{2} = h, \end{matrix}

tehát az ütközés

\begin{matrix} t_{0} = \frac{h}{v_{0}} = \frac{20}{19} s = 1, 05 s \end{matrix}

idővel a fellövés után, és

\begin{matrix} h_{1} = h - \frac{g h^{2}}{2 v_{0}^{2}} = 14, 56 m \end{matrix}

magasságban következik be.
Közvetlenül az ütközés előtt a testek sebessége:

\begin{matrix} v_{1} (t_{0}) = v_{0} - \frac{g h}{v_{0}} \approx 8, 67 \frac{m}{s}, illetve v_{2} (t_{0}) = - \frac{g h}{v_{0}} \approx - 10, 3 \frac{m}{s} . \end{matrix}

A rugalmatlan ütközés után az összetapadt két test közös sebessége (a lendületmegmaradás törvénye szerint)

\begin{matrix} u = \frac{m v_{1} + M v_{2}}{m + M} = - 3, 02 \frac{m}{s} . \end{matrix}

(A negatív előjel azt mutatja, hogy a két test az ütközés után lefelé fog mozogni.)
A mozgás további részére alkalmazható a mechanikai energiamegmaradás törvénye:

\begin{matrix} (m + M) g h_{1} + \frac{1}{2} (m + M) u^{2} = \frac{1}{2} (m + M) w^{2}, \end{matrix}

ahol

w

a földbe csapódás sebessége. Ebből (és a korábban kiszámított mennyiségekből)

\begin{matrix} w = \sqrt[]{u^{2} + 2 g h_{1}} = 17, 2 \frac{m}{s} \end{matrix}

sebesség adódik.