Kezdőlap


Feladat:	4035. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pálovics Péter , Wang Daqian
Füzet:	2009/január, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabadesés, Rugalmatlan ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: 4035. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A $h_{0} = 1, 5$ m magasból elejtett $m$ tömegű labda összes mechanikai (helyzeti + mozgási) energiája $E_{0} = m g h_{0}$ , ha a helyzeti energia nullpontját a talaj szintjéhez választjuk. A labda esésének ideje az első pattanásáig

\begin{matrix} t_{0} = \sqrt[]{\frac{2 h_{0}}{g}} . \end{matrix}

Jelöljük a talajnak ütköző labda ütközés utáni és ütközés előtti energiájának arányát

k

-val

(k < 1)

. Az

E_{1} = k E_{0}

energiájú labda

h_{1} = k h_{0}

magasságra pattan fel, s az első és második pattanása között

\begin{matrix} t_{1} = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 h_{1}}{g}} = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 (k h_{0})}{g}} \end{matrix}

idő telik el. Hasonló módon számolhatjuk ki a további pattanások között eltelő időtartamokat is:

\begin{matrix} t_{2} = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 (k^{2} h_{0})}{g}}, t_{3} = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 (k^{3} h_{0})}{g}}, \end{matrix}

és általában

\begin{matrix} t_{n} = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 (k^{n} h_{0})}{g}} . \end{matrix}

A labda megállásáig összesen

\begin{matrix} T = t_{0} + t_{1} + t_{2} + t_{3} + ... = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 h_{0}}{g}} (\frac{1}{2} + \sqrt[]{k} + \sqrt[]{k^{2}} + \sqrt[]{k^{3}} + ...) \end{matrix}

idő telik el, ahol a feladat szövege szerint

T = 3

s. A zárójelben álló kifejezés a ,,végtelen'' mértani sor összegképletének felhasználásával számítható ki:

\begin{matrix} \frac{1}{2} + \sqrt[]{k} + \sqrt[]{k^{2}} + \sqrt[]{k^{3}} + ... = (1 + \sqrt[]{k} + \sqrt[]{k^{2}} + \sqrt[]{k^{3}} + ...) - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 - \sqrt[]{k}} - \frac{1}{2} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} T = 2 \cdot \sqrt[]{\frac{2 h_{0}}{g}} (\frac{1}{1 - \sqrt[]{k}} - \frac{1}{2}), \end{matrix}

ahonnan algebrai átalakítások és az adatok behelyettesítése után az ütközés rugalmatlanságát jellemző számra a

\begin{matrix} k = {(\frac{T - \sqrt[]{\frac{2 h_{0}}{g}}}{T + \sqrt[]{\frac{2 h_{0}}{g}}})}^{2} \approx 0, 48 \end{matrix}

értéket kapjuk.
Ha azt akarjuk elérni, hogy a labda mindig ugyanolyan magasra pattanjon, a kezdeti

E_{0}

helyzeti energiáját akkora mozgási energiával kell megnövelnünk, hogy fennálljon:

\begin{matrix} k \cdot (E_{0} + \frac{1}{2} m v^{2}) = E_{0} . \end{matrix}

Innen a folyamatos pattogtatás ,,leütési sebességére''

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h_{0} (\frac{1}{k} - 1)} \approx 5, 4 \frac{m}{s} \end{matrix}

adódik.