I. megoldás. Jelöljünk ki a gömbfelületen egy $A$ pontot, melyet tekintsünk rögzítettnek. Válasszunk ki ezután a gömbfelületen egymástól függetlenül, véletlenszerűen három pontot. A keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ezen három pont és az $A$ által meghatározott tetraéder tartalmazza a gömb középpontját. Mivel annak 0 a valószínűsége, hogy a négy pont közül kettő egybeessen, ezektől az esetektől eltekinthetünk ‐ akárcsak attól, hogy a három kiválasztott pontra illeszkedő sík áthalad a gömb középpontján. Ha $X$, $Y$, $Z$ három, ilyen módon választott pont, akkor az $AXYZ$ tetraéder pontosan akkor tartalmazza a gömb $O$ középpontját, ha az $OA\text{'}$ szakasz átmetszi az $XYZ$ háromszöget, ahol $A\text{'}$ az $A$ pontnak $O$-ra való tükörképe.
A választandó ponthármasokat nyolcas csoportokba oszthatjuk a következő módon. Vegyünk fel három átellenes pontpárt ‐ legyenek ezek $\left(B\mathrm{,}B\text{'}\right)$, $\left(C\mathrm{,}C\text{'}\right)$, $\left(D\mathrm{,}D\text{'}\right)$ ‐ úgy, hogy egyik pont sem esik egybe $A$-val, és a $BCD$ sík nem halad át a gömb középpontján. Az így kapott hat pont konvex burka egy olyan oktaéder, amely szimmetrikus a gömb középpontjára, párhuzamos lappárjai pedig $\left(BCD\mathrm{,}B\text{'}C\text{'}D\text{'}\right)$, $\left(B\text{'}CD\mathrm{,}BC\text{'}D\text{'}\right)$, $\left(BC\text{'}D\mathrm{,}B\text{'}CD\text{'}\right)$ és $\left(BCD\text{'}\mathrm{,}B\text{'}C\text{'}D\right)$. Bármelyik lap csúcsai szóba jöhetnek, mint a három kiválasztandó pont, és minden szóba jövő ponthármas megfelel pontosan egy ilyen módon elképzelt oktaéder egyik lapjának. A megoldás ötlete a következő észrevételen alapul: a három pont véletlenszerű kiválasztását megtehetjük úgy, hogy először véletlenszerűen választunk három átellenes pontpárt, majd ezután minden egyes pontpárból $1/2$‐$1/2$ valószínűséggel kiválasztjuk valamelyik pontot. Más szóval, először véletlenszerűen választunk egy megfelelő oktédert, majd ezután egyenlő, egyenként $1/8$ valószínűséggel annak valamelyik lapját, amelynek csúcsai alkotják a kiválasztott ponthármast.
Tekintsünk egy megfelelő oktaédert. Az $A$ pontot a gömb $O$ középpontjával összekötő egyenes az oktaéder két, egymással párhuzamos lapját metszi át, a többit elkerüli. A szimmetria miatt e két párhuzamos lapnak pontosan egyikét átmetszi az $OA\text{'}$ szakasz, a másikat pedig nem. Ezért az adott oktaéderhez tartozó nyolc ponthármas közül pontosan egy lesz megfelelő. Mivel ez bármelyik oktaéderre elmondható, érvelésünk alapján a keresett valószínűség $1/8$.