A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy a kör kerülete egységnyi, és legyen a körvonal egy rögzített pontja. Szimmetria okok miatt a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ha egymástól függetlenül egy és egy pontot kiválasztunk a körvonalon, akkor a kör középpontja az háromszög belsejébe esik. Ha az , pontok -ra való tükörképét , jelöli, akkor ez éppen azt jelenti, hogy és a (rövidebbik) ív belső pontja.
Rögzítve egy körüljárási irányt, kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesíthetünk az összes pontpárok és a egységnégyzet pontjai között, ahol egy pontra jelöli az irányított ív hosszát. Az háromszög hegyesszögű voltának megfelelő pontok halmazát az ábrán bevonalkázott rész szemlélteti, a határpontokat figyelmen kívül hagyva.
Mivel annak valószínűsége, hogy a pont egy adott ívre esik, megegyezik az ív hosszával, a , pontok független választása miatt úgy érvelhetünk, hogy a keresett valószínűség megegyezik a bevonalkázott tartomány területével (pontosabban e területnek a teljes egységnégyzet területéhez való arányával), ami éppen 1/4.
II. megoldás. Használjuk továbbra is az I. megoldás jelöléseit. Az csúcsot tekintsük most is rögzítettnek, továbbá tegyük fel, hogy már a csúcsot is kiválasztottuk; ennek az -tól való ívtávolsága (a rövidebbik ív hossza) legyen (). Meghatározzuk az függvényében annak a (feltételes) valószínűségét, hogy a harmadik, pont megválasztásával az háromszög hegyesszögű. Mint láttuk, ez pontosan akkor van így, ha a rövidebbik körív belső pontja. Ennek ‐ az -vel egybevágó ‐ körívnek a hossza ugyancsak , ezért megfelelő választásának valószínűsége . A feladat kérdésére adandó válasz az ,,átlaga'' (pontosabban a intervallumon értelmezett függvény integrál-közepe az adott intervallumon), ami .
Megjegyzés. A probléma térbeli változatát a B. 4086. feladatban fogalmaztuk meg. Az ahhoz közölt megoldás magyarázatot ad az eredmények gyanús ,,szabályosságára'' is: a síkbeli mellett a tetraéderre vonatkozó megfelelő valószínűség . A térbeli változat bármelyik megoldása igen egyszerűen adaptálható a síkra; az így kapható III. megoldás(ok) megfogalmazását az Olvasóra bízzuk.
|