Kezdőlap


Feladat:	B.4075	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Huszár Kristóf
Füzet:	2009/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyökös függvények, Szélsőérték-feladatok, Számtani közép, Mértani közép, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: B.4075

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk meg először a függvény értelmezési tartományát. A négyzetgyök jel alatt nem állhat negatív érték, emiatt $3, 5 \leq x \leq 6$ .
A számtani és négyzetes közepek közötti

\begin{matrix} \frac{a + b + c}{3} \leq \sqrt[]{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}} \end{matrix}

összefüggést alkalmazzuk a függvényben álló három négyzetgyökös kifejezésre:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{2 x - 7} + \sqrt[]{18 - 3 x}}{3} \leq \sqrt[]{\frac{(x - 2) + (2 x - 7) + (18 - 3 x)}{3}} = \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} f (x) = \sqrt[]{x - 2} + \sqrt[]{2 x - 7} + \sqrt[]{18 - 3 x} \leq 3 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 2} = \sqrt[]{2 x - 7} = \sqrt[]{18 - 3 x} \Leftrightarrow x = 5, \end{matrix}

ami eleme az értelmezési tartománynak. Tehát a függvény maximuma

3 \sqrt[]{3}

, amit (egyedül) az

x = 5

helyen vesz fel.