Kezdőlap


Feladat:	C.939	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benyó Krisztián
Füzet:	2009/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Térfogat, Egyenes körkúpok, Csonkagúlák, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: C.939

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a téglalap csúcsait $A$ , $B$ , $C$ és $D$ -vel az ábra szerint, oldalai $A B = 20$ , $B C = 15$ . Forgassuk meg a téglalapot a $B D$ átlója körül. Az $A$ $180^{\circ}$ -os elforgatottja $A'$ . Állítsunk a téglalap síkjában a $B D$ átló $F$ felezőpontjában merőlegest az átlóra. Messe az egyenes az $A B$ oldalt az $M$ , a $C D$ oldalt az $M'$ pontban. Nyilván az $F M$ távolság egyenlő az $F M'$ távolsággal, azaz $M$ tükörképe a $B D$ átlóra $M'$ . Az $F$ pontban a $B D$ -re állított merőleges sík szimmetriasíkja a forgástestnek, ezért elegendő ezen sík egyik oldalán keletkezett forgástestet vizsgálni. A teljes térfogatot ezen forgástest térfogatának kétszerese adja.

A forgatáskor keletkezett egy

\frac{A A'}{2} = r

sugarú és

D O = m

magasságú forgáskúp (

O

A A'

és

B D

metszéspontja), és egy csonkakúp, melyben az alapkörök sugara

F M = r_{1}

A O = r_{2}

, a magassága

F O = m'

. Számítsuk ki a szükséges adatokat.
A téglalap átlója

B D = \sqrt[]{400 + 225} = 25

D O

hosszát az

A B D

derékszögű háromszögből a befogótétel segítségével számítjuk ki:

\begin{matrix} D A = \sqrt[]{D O \cdot D B}, azaz 15 = \sqrt[]{D O \cdot 25}, innen D O = \frac{225}{25} = 9 \end{matrix}

a kúp

m

magassága.
A kúp alapkörének sugara

r = A O = \sqrt[]{15^{2} - 9^{2}} = 12

. A kúp térfogata:

\begin{matrix} V_{kúp} = \frac{m r^{2} π}{3} = \frac{9 \cdot 12^{2} π}{3} = 432 π . \end{matrix}

A csonkagúla magassága:

m' = F O = \frac{25}{2} - 9 = \frac{7}{2}

. Az

r_{1}

sugarat a

B F M

és

B O A

hasonló háromszögekből határozzuk meg:

\frac{F M}{A O} = \frac{B F}{B O}

, innen

\begin{matrix} r_{1} = F M = A O \cdot \frac{B F}{B O} = 12 \cdot \frac{12, 5}{12, 5 + 3, 5} = 12 \cdot \frac{12, 5}{16} = \frac{3}{4} \cdot 12, 5 = 9, 375 \end{matrix}

és

r_{2} = A O = 12

.
A csonkagúla térfogata:

\begin{matrix} V_{csonkagúla} & = \frac{m' π}{3} (r_{1}^{2} + r_{1} r_{2} + r_{2}^{2}) = \frac{\frac{7}{2} π}{3} (9, 375^{2} + 9, 375 \cdot 12 + 12^{2}), \\ V_{forgástest} & = π \cdot [864 + \frac{7}{3} (9, 375^{2} + 9, 375 \cdot 12 + 12^{2})] \approx 5238, 85. \end{matrix}