Kezdőlap


Feladat:	C.932	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Meszlényi Regina
Füzet:	2009/január, 19 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kombinatorikai leszámolási problémák, Háromszögek geometriája, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Diofantikus egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: C.932

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A kérdés ugyanaz, mintha azt kérdeznénk, hogy hányféleképpen lehet a 180-at három pozitív egész szám összegeként felírni, ha a számok sorrendje nem számít.
Ha számítana a sorrend is, akkor az összes lehetőség száma $(\binom{179}{2})$ lenne, hiszen ha leírunk egymás mellé 180 darab 1-est, akkor a szomszédosak közötti 179 hely közül kell kettőt kiválasztani, hogy a 180 darab 1-est három részre osszuk.
Ha $a + b + c = 180$ , és $a$ , $b$ , $c$ különböző pozitív egész számok, akkor ennek a három számnak $3! = 6$ -féle különböző sorrendje van. Tehát a különböző alakú, nem egyenlő szárú háromszögek számát $x$ -szel jelölve, $6 x$ darab ilyen háromszög van, ha számít a szögek sorrendje. Ha $a + a + b = 180$ , és $a$ , $b$ különböző pozitív egész számok, akkor ennek a három számnak $3$ -féle különböző sorrendje van. Tehát az egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú, különböző alakú háromszögek számát $y$ -nal jelölve, $3 y$ ilyen háromszög van, ha számít a szögek sorrendje. Egyenlő oldalú háromszög 1 van.
Ezek alapján:

\begin{matrix} (\binom{179}{2}) = \frac{179 \cdot 178}{2} = 15 931 = 6 x + 3 y + 1. \end{matrix}

(1)

Az egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú háromszögek száma pedig 88, hiszen az alapon fekvő szögek nagysága fokban az 1-től 89-ig terjedő egész számok közül a 60 kivételével bármi lehet. Tehát

y = 88

. Ezt behelyettesítve (1)-be kapjuk, hogy

15 931 = 6 x + 3 \cdot 88 + 1

, ahonnan

x = 2611

.
Így a különböző alakú háromszögek száma:

x + y + 1 = 2611 + 88 + 1 = 2700

Megjegyzés. Ha azt szeretnénk megszámolni, hogy hányféleképpen lehet

6 k

-t felbontani három pozitív egész szám összegére, akkor hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{(6 k - 1) (6 k - 2)}{2} = 6 x + 3 y + 1, amiből 18 k^{2} - 9 k = 6 x + 3 y, \end{matrix}

ahol

x

a három különböző,

y

pedig a két különböző számra való felbontások számát jelöli. Másrészt szintén az I. megoldás gondolatmenetével:

3 k - 1 = y + 1

, amiből

y = 3 k - 2

. Ezt behelyettesítve az előbbi egyenletbe és rendezve kapjuk, hogy

x = 3 k^{2} - 3 k + 1

. Végül, a keresett felbontások száma:

\begin{matrix} x + y + 1 = 3 k^{2} - 3 k + 1 + 3 k - 2 + 1 = 3 k^{2} . \end{matrix}

II. megoldás. Legyenek egy háromszög szögei általában

α \leq β \leq γ

. Számoljuk össze a háromszögeket a legkisebb szög,

α

nagysága szerint. (A ,,fok'' mértékegységet nem írjuk le.)
Tudjuk, hogy

α \leq β \leq [90 - \frac{α}{2}]

, hiszen ha

β

ennél nagyobb lenne, akkor

γ

is, de ekkor a három szög összege nagyobb lenne 180-nál.
Tehát adott

α = k

esetén a háromszögben

β

nagyságára

([90 - \frac{k}{2}] - k) + 1

lehetőség van. Mivel

α

legfeljebb 60, azért az összes háromszög száma:

\begin{matrix} \sum_{α = 1}^{60} ([90 - \frac{α}{2}] - α) + 1 = (\sum_{α = 1}^{60} [90 - \frac{α}{2}]) - \sum_{α = 1}^{60} α + 60 = \\ = & 2 \cdot (89 + 88 + ... + 60) - (1 + 2 + ... + 60) + 60 = 2 \cdot \frac{30 \cdot 149}{2} - \frac{61 \cdot 60}{2} + 60 = \\ = & 4470 - 1830 + 60 = 2700. \end{matrix}

III. megoldás. Legyenek egy háromszög szögei általában

α \leq β \leq γ

. Számoljuk össze a háromszögeket a középső szög,

β

nagysága szerint. (A ,,fok'' mértékegységet nem írjuk le.)

β

legalább 1, és legfeljebb

[\frac{180 - 1}{2}] = 89

.
I. eset:

1 \leq β \leq 60

, ekkor

1 \leq α \leq β

, amiből

γ

már meghatározott. Ez

α

-ra, és így a háromszögek számára

\begin{matrix} \sum_{β = 1}^{60} β = 1 + 2 + ... + 59 + 60 = \frac{60 (60 + 1)}{2} = 1830 \end{matrix}

lehetőség.
II. eset:

61 \leq β \leq 89

, ekkor

β \leq γ \leq 180 - (β + 1)

, hiszen

α

értéke legalább 1. Mivel

α

ebből már meghatározott, azért

γ

és így a háromszögek száma

\begin{matrix} \sum_{β = 61}^{89} ((180 - (β + 1)) - β) + 1 = \sum_{β = 61}^{89} 180 - 2 β = \\ = & (89 - 61 + 1) \cdot 180 - 2 \cdot \frac{(89 - 61 + 1) \cdot (89 + 61)}{2} = 5220 - 4350 = 870. \end{matrix}

Ez összesen

1830 + 870 = 2700

lehetőség, tehát ennyi háromszög van.

Megjegyzés. A legnagyobb szög szerint is össze lehet számolni a háromszögeket, bár kicsit bonyolultabb módon.

IV. megoldás. Jelölje

a_{i}

b_{i}

és

c_{i}

rendre azt, hogy hányféleképpen lehet az

i

pozitív egész számot egy, két, illetve három pozitív egész szám összegére felbontani, ahol nem számít a tagok sorrendje.
Nyilván

a_{i} = 1

minden

i

esetén.
Az is teljesül, hogy

b_{2 k} = b_{2 k + 1} = k

, hiszen a kisebbik szám mindkét esetben

1

és

k

közötti egész.
Ha egy 3-nál nagyobb számot felbontunk három pozitív egész összegére:

k = x + y + z

, akkor

k - 3 = (x - 1) + (y - 1) + (z - 1)

, ahol a három tag nemnegatív. Vagyis a 3-mal kisebb számnak egy olyan felbontását kaptuk, ami vagy egy tagból áll (ha

x

y

és

z

közül pontosan kettő értéke 1); vagy két tagból áll (ha a három szám közül pontosan egy értéke 1); vagy három tagból áll (ha mindhárom szám értéke nagyobb 1-nél).
Megfordítva: a

k - 3

számnak valamely egy-, két- vagy háromtagú felbontásából megkapjuk

k

egy háromtagú felbontását.
A fentiek alapján teljesül, hogy:

\begin{matrix} c_{k} = a_{k - 3} + b_{k - 3} + c_{k - 3} . \end{matrix}

Legyen most

k = 6 n

alakú. Ekkor

c_{6 n - 3}

-at tovább bontva, majd az eredményben a

c_{i}

tagokat mindig tovább bontva kapjuk, hogy

\begin{matrix} c_{6 n} = a_{6 n - 3} + b_{6 n - 3} + a_{6 n - 6} + b_{6 n - 6} + ... + a_{6} + b_{6} + a_{3} + b_{3} + c_{3} . \end{matrix}

Mivel a 3 csak egyféleképpen bontható fel három pozitív egész szám összegére (

3 = 1 + 1 + 1

c_{3} = 1

. Továbbá

b_{3} = 1

b_{6 k} = 3 k

és

b_{6 k + 3} = 3 k + 1

. Ezek alapján a tagokat rendezve:

\begin{matrix} c_{6 n} & = & (a_{3} + a_{6} + ... + a_{6 n - 6} + a_{6 n - 3}) + (b_{3} + b_{6} + ... + b_{6 n - 6} + b_{6 n - 3}) + c_{3} = \\ = & (2 n - 1) + ((1) + (3 \cdot 1) + (3 \cdot 1 + 1) + (3 \cdot 2) + (3 \cdot 2 + 1) + ... + \\ + (3 \cdot (n - 1)) + (3 \cdot (n - 1) + 1)) + 1 = \\ = & (2 n - 1) + (n \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot (1 + 2 + ... + (n - 1))) + 1 = \\ = & 2 n - 1 + n + 6 \cdot \frac{n (n - 1)}{2} + 1 = 3 n + 3 n (n - 1) = 3 n^{2} . \end{matrix}

n = 30

esetén

3 \cdot 30^{2} = 2700

felbontást jelent, ennyi a megfelelő háromszögek száma.