Feladat: C.930 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lukucz Virág 
Füzet: 2009/január, 18. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Többszemélyes véges játékok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: C.930

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Figyeljük meg, hogy bármelyik két színt változtatjuk, a korongok számának különbségeit összeadva, az összeg 3-mal osztva mindig ugyanannyi maradékot ad. Például

 
  eredetileg11 piros7 kék20 zöldkorongunk van,  a különbségük413és  20-11=9,összegük 3-mal való osztási maradéka: 2;  vagy1 piros  és  1 kékkorongot veszünk el,  marad10 piros6 kékés lesz 22 zöld  a különbségek:416és 12,az összeg 3-mal való osztási maradéka: 2.
 

Ez nyilván mindig igaz, hiszen, ha két színből elveszünk 1-1-et, akkor a különbségük nem változik, ha viszont az egyik színből 1-et veszünk el, valamelyik másik színű korong száma 2-vel nő, így ezek különbsége 3-mal változik.
Összesen 38 korongunk van, aminek 3-mal való osztási maradéka 2. Így az a szín nem maradhat a végén, amelyikhez létezik egy másik szín úgy, hogy a korongok számának különbsége 3 többszöröse. A golyók számának különbségei: 20z-11p=9, 20z-7k=13, 11p-7k=4. Azaz sem piros, sem zöld korong nem maradhat a végén, csak kék.
A csupa kék korong valóban elérhető az alábbi módon: 11p, 7k, 20z. Elveszünk 3 kék és 3 zöld korongot, lesz 17p, 4k és 17z korongunk. Majd 17p és 17z korongot váltunk be 34 kékre, és lesz 38 kék, 0 zöld és 0 piros korongunk.