Kezdőlap


Feladat:	C.923	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Marton Kata
Füzet:	2009/január, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trapézok, Terület, felszín, Húrnégyszögek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: C.923

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A megadott adatoknak megfelelően két trapéz is létezik. Az egyik a kör középpontját a belsejében tartalmazza. A másik esetben a kör középpontja a trapézon kívül van. Számoljuk ki mindkét esetben a szárak hosszát és a trapéz területét.

Először az első esetet vizsgáljuk. Jelöljük a trapéz csúcsait

A

B

C

D

-vel, középpontját

O

-val az ábra szerint. Állítsunk a középpontból merőlegeseket a trapéz alapjaira. Jelöljük az alapoktól való távolságukat

m_{1}

-gyel és

m_{2}

-vel,

O C = 10

\begin{matrix} m_{1}^{2} & = 10^{2} - {(\frac{15}{2})}^{2} = 100 - \frac{225}{4} = \frac{175}{4}, m_{1} = \frac{5 \sqrt[]{7}}{2}; \\ m_{2}^{2} & = 10^{2} - 5^{2} = 75, m_{2} = 5 \sqrt[]{3} . \end{matrix}

A trapéz magassága:

\begin{matrix} m_{1} + m_{2} = \frac{5 \sqrt[]{7} + 10 \sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Területe:

\begin{matrix} \frac{10 + 15}{2} \cdot \frac{5 \sqrt[]{7} + 10 \sqrt[]{3}}{2} = \frac{125 \sqrt[]{7} + 250 \sqrt[]{3}}{4} \approx 190, 93. \end{matrix}

A trapéz szárának hosszát a Pitagorasz-tétel felhasználásával számítjuk ki:

B C^{2} = {(m_{1} + m_{2})}^{2} + {B C'}^{2}

, ahol

C'

C

merőleges vetülete

A B

-re.

\begin{matrix} B C^{2} & = {(\frac{5 \sqrt[]{7} + 10 \sqrt[]{3}}{2})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{500 + 100 \sqrt[]{21}}{4} \approx 239, 56, \\ B C & \approx 15, 48. \end{matrix}

A második esetben

m = m_{2} - m_{1}

\begin{matrix} m & = \frac{10 \sqrt[]{3} - 5 \sqrt[]{7}}{2}; \\ T & = \frac{10 + 15}{2} \cdot \frac{10 \sqrt[]{3} - 5 \sqrt[]{7}}{2} = \frac{250 \sqrt[]{3} - 125 \sqrt[]{7}}{4} \approx 25, 57. \end{matrix}

A trapéz szára:

\begin{matrix} D A^{2} & = {(\frac{10 \sqrt[]{3} - 5 \sqrt[]{7}}{2})}^{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{500 - 100 \sqrt[]{21}}{4}; \\ D A & = \sqrt[]{\frac{500 - 100 \sqrt[]{21}}{4}} \approx 3, 23. \end{matrix}