Kezdőlap


Feladat:	B.4090	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bodor Bertalan , Huszár Kristóf
Füzet:	2008/december, 545. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek geometriája, Középponti és kerületi szögek, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: B.4090

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a háromszög $A$ csúcsánál lévő szöge $α$ . A feltételből adódóan:

\begin{matrix} C A E ∢ = B A E ∢ = \frac{α}{2}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} A B P ∢ = A C Q ∢ = 90^{\circ} - α . \end{matrix}

A kerületi szögek tétele alapján:

\begin{matrix} C A E ∢ = C Q E ∢ és E A B ∢ = E P B ∢, \end{matrix}

amiből következik, hogy

\begin{matrix} C A E ∢ = C Q E ∢ = E A B ∢ = E P B ∢ = \frac{α}{2} . \end{matrix}

Hasonlóan adódik az is, hogy

A C Q ∢ = A E Q ∢ = A B P ∢ = A E P ∢ = 90^{\circ} - α

. Ha két háromszög szögei páronként egyenlőek, akkor a két háromszög hasonló egymáshoz. Vagyis

A N B ▵ \sim P N E ▵ \sim A M C ▵ \sim Q M E ▵

Ennek alapján:

\begin{matrix} \frac{M E}{Q E} = \frac{C M}{A C} és \frac{P E}{A B} = \frac{P N}{A N} . \end{matrix}

A két egyenletet összeszorozva, majd rendezve:

\begin{matrix} \frac{P E \cdot A N \cdot M E}{Q E \cdot C M \cdot N P} = \frac{A B}{A C} . \end{matrix}

Azonban a szögfelező tétel miatt:

\begin{matrix} \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}, vagyis \frac{P E \cdot A N \cdot M E}{Q E \cdot C M \cdot N P} = \frac{B D}{D C}, \end{matrix}

és éppen ezt kellett belátni.