Kezdőlap


Feladat:	B.4089	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Gábor
Füzet:	2008/december, 544. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/április: B.4089

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel az egyenletnek $x = 0$ nem gyöke, ekvivalens átalakítást hajtunk végre, ha $x^{2}$ -tel elosztjuk. Rendezve:

\begin{matrix} (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 7 (x + \frac{1}{x}) + 13 & = 0, \\ ({(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2) - 7 (x + \frac{1}{x}) + 13 & = 0, \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 7 (x + \frac{1}{x}) + 11 & = 0. \end{matrix}

y = x + \frac{1}{x}

helyettesítéssel ezt

y^{2} - 7 y + 11 = 0

alakra hozhatjuk, amelynek megoldásai

y_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt[]{5}}{2}

. Ezért az eredeti egyenlet megoldásait az

x + \frac{1}{x} = y_{i}

, azaz

x^{2} - y_{i} x + 1 = 0

egyenletek megoldásai szolgáltatják. Mivel

y_{i} > 2

, mindkét egyenletnek két különböző valós gyöke van, nevezetesen

\begin{matrix} x_{1} & = \frac{7 + \sqrt[]{5} + \sqrt[]{38 + 14 \sqrt[]{5}}}{4}, & x_{2} & = \frac{7 + \sqrt[]{5} - \sqrt[]{38 + 14 \sqrt[]{5}}}{4}, \\ x_{3} & = \frac{7 - \sqrt[]{5} + \sqrt[]{38 - 14 \sqrt[]{5}}}{4}, & x_{4} & = \frac{7 - \sqrt[]{5} - \sqrt[]{38 - 14 \sqrt[]{5}}}{4} . \end{matrix}

Megjegyzés. Hasonló helyettesítéssel minden olyan páros

2 n

-ed fokú egyenlet egy

n

-ed fokú és legfeljebb

n

darab másodfokú egyenletre vezethető vissza, ahol

x^{k}

és

x^{2 n - k}

együtthatója megegyezik, minden

k = 0,1, ...,2 n

-re. Szokás az ilyen egyenleteket reciprok-egyenletnek, illetve a megfelelő polinomokat reciprok-polinomnak hívni. Az elnevezés alapja az, hogy ha egy ilyen polinomnak egy

c

szám gyöke, akkor gyöke az

\frac{1}{c}

is, méghozzá ugyanakkora multiplicitással, mint

c

. A fele akkora fokú egyenletre való visszavezetés általában azon múlik, hogy (minden

k

pozitív egészre)

x^{k} + \frac{1}{x^{k}}

felírható

x + \frac{1}{x}

(

k

-ad fokú) polinomjaként. Ezt például a

k

-ra vonatkozó indukcióval láthatjuk be:

k = 1

-re ez triviális; tegyük fel, hogy igaz minden

k < m

-re. Ekkor igaz

k = m

-re is, mivel

\begin{matrix} x^{m} + \frac{1}{x^{m}} = (x^{m - 1} + \frac{1}{x^{m - 1}}) \cdot (x + \frac{1}{x}) - (x^{m - 2} + \frac{1}{x^{m - 2}}), \end{matrix}

és az indukciós feltevés értelmében

x^{m - 1} + \frac{1}{x^{m - 1}}

és

x^{m - 2} + \frac{1}{x^{m - 2}}

felírható

x + \frac{1}{x}

(megfelelő fokú) polinomjaként.