Kezdőlap


Feladat:	B.4073	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Héricz Dalma
Füzet:	2008/december, 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Diofantikus egyenletek, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/március: B.4073

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $a \leq b < c$ . Tudjuk, hogy

\begin{matrix} a + b = c + 6, amiből c = a + b - 6. \end{matrix}

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

, majd ebbe helyettesítsük be a

c

-re fent kapott kifejezést:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = {(a + b - 6)}^{2} . \end{matrix}

Ezt átrendezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} 0 = 18 + a b - 6 a - 6 b = 18 + (a - 6) (b - 6) - 36. \end{matrix}

Ebből pedig

\begin{matrix} 18 = (a - 6) (b - 6) . \end{matrix}

Ekkor

(a - 6; b - 6)

lehetséges értékei:

(- 18; - 1)

(- 9; - 2)

(- 6; - 3)

(1; 18)

(2; 9)

, és

(3; 6)

. Az első három esetben

a

értéke nem lenne pozitív. A többi esetben a következő értékeket kapjuk

(a; b; c)

-re:

\begin{matrix} (7; 24; 25), (8; 15; 17) és (9; 12; 15) . \end{matrix}