Kezdőlap


Feladat:	B.4066	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Zieger Milán
Füzet:	2008/december, 540 - 541. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Konvex négyszögek, Négyszögek középvonalai, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/február: B.4066

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tekintsük az $A B C D$ négyszög $E F$ középvonalát az ábra szerint. Az $A E$ és $E B$ szakaszok egy egyenesre illeszkednek, ezért az $F$ ponttól egyenlő távolságra vannak. Az $E$ pont az $A B$ szakasz felezőpontja, ezért $A E = E B$ .

Tehát

T_{A E F} = T_{E B F}

.
Az

E F

felezi a négyszög területét, ezért ekkor

T_{F B C} = T_{F D A}

is teljesül. Tudjuk, hogy

D F

és

F C

illeszkednek a

D C

egyenesre és egyenlő hosszúak, így az

A

és a

B

pont távolsága a

D C

egyenestől megegyezik, vagyis

A B ∥ C D

.
Ugyanígy belátható, hogy

A D ∥ B C

.
Az

A B C D

négyszög szemközti oldalai párhuzamosak, tehát a négyszög paralelogramma.