Kezdőlap


Feladat:	B.4054	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Dóra , Szórádi Márk
Füzet:	2008/december, 537 - 538. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Körülírt kör, Beírt kör, Háromszögek nevezetes háromszögei, Hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: B.4054

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Vizsgáljuk az $a$ oldallal párhuzamos érintő által levágott $A B_{1} C_{1}$ háromszöget. Mivel $a_{1}$ és $a$ párhuzamosak, a kis háromszög hasonló az eredetihez, vagyis

\begin{matrix} \frac{m_{1}}{m} = \frac{r_{a}}{r}, \end{matrix}

ahol

r_{a}

a kis háromszögbe írt kör sugara.

Tudjuk, hogy

m_{1} = m - 2 r

, ezt behelyettesítve:

\begin{matrix} \frac{m - 2 r}{m} = \frac{r_{a}}{r} . \end{matrix}

A háromszög területe:

T = \frac{a \cdot m}{2}

, vagyis

m = \frac{2 T}{a}

. Ezt beírva a fenti egyenletbe:

\begin{matrix} \frac{\frac{2 T}{a} - 2 r}{\frac{2 T}{a}} = \frac{r_{a}}{r}, \end{matrix}

amiből

r_{a}

-t kifejezve és egyszerűsítve a kifejezést:

\begin{matrix} r_{a} = \frac{\frac{2 T - 2 a r}{a}}{\frac{2 T}{a}} \cdot r = \frac{T - a r}{T} \cdot r . \end{matrix}

Hasonlóképpen

r_{b} = \frac{T - b r}{T} \cdot r

és

r_{c} = \frac{T - c r}{T} \cdot r

.
Összegezve:

\begin{matrix} r_{a} + r_{b} + r_{c} = \frac{T - a r}{T} \cdot r + \frac{T - b r}{T} \cdot r + \frac{T - c r}{T} \cdot r = \frac{r}{T} [3 T - r (a + b + c)] . \end{matrix}

Tudjuk, hogy

\begin{matrix} T = \frac{(a + b + c) r}{2}, így r_{a} + r_{b} + r_{c} = \frac{r}{T} [3 T - 2 T] = r . \end{matrix}

Ezzel beláttuk, hogy a lemetszett háromszögekbe írt körök sugarainak összege megegyezik a háromszög beírt körének sugarával.