Kezdőlap


Feladat:	C.929	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fónagy Fanni
Füzet:	2008/december, 535 - 536. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: C.929

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Betűzzük meg a csonkagúla csúcsait az 1. ábra szerint. Számítsuk ki a gúla alaplap- és oldallap-átlóinak, valamint a testátlójának hosszát. Az alaplapok négyzetek, így az átlók hossza

\begin{matrix} A C = 4 \sqrt[]{2} = \sqrt[]{32}, illetve A' C' = 2 \sqrt[]{2} = \sqrt[]{8} . \end{matrix}

1. ábra

A gúla oldallapjai egyenlő szárú trapézok. Egy ilyen trapéz csúcsai pl.

A

B

A'

B'

(2. ábra).

B'

vetülete az

A B

oldalra

E

\begin{matrix} E B & = \frac{4 - 2}{2} = 1, B' E = \sqrt[]{4^{2} - 1^{2}} = \sqrt[]{15}, \\ {A B'}^{2} & = 3^{2} + {(\sqrt[]{15})}^{2} = 24, A B' = \sqrt[]{24} . \end{matrix}

2. ábra

Végül az alaplap átlójára fektessünk egy, az alapra merőleges síkot. Ez a sík egy egyenlő szárú trapézt metsz ki a gúlából. Ez a sík tartalmazza a gúla

A C'

testátlóját (3. ábra).

3. ábra

Az előzőkhöz hasonlóan a testátló hosszát a Pitagorasz-tétel felhasználásával számíthatjuk ki:

\begin{matrix} C' F & = \sqrt[]{16 - 2} = \sqrt[]{14}, \\ {A C'}^{2} & = {(\sqrt[]{14})}^{2} + {(3 \sqrt[]{2})}^{2} = 14 + 18 = 32, \\ A C' & = \sqrt[]{32} . \end{matrix}

A kapott eredményeket összehasonlítva láthatjuk, hogy két csúcs közötti leghosszabb távolság

\sqrt[]{32}

, s ez a testátló, illetve az alaplap átlójának hossza.