Kezdőlap


Feladat:	C.927	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Tamási János
Füzet:	2008/december, 534 - 535. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Háromszög területe, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Thalesz tétel és megfordítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/január: C.927

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje az átfogóhoz tartozó magasságot $m$ . A háromszög területét kétféleképpen felírva: $t = \frac{c^{2}}{8} = \frac{c m}{2}$ , amiből $c = 4 m$ .
Az $m$ magasság a $c$ oldalt így egy $x$ és egy $4 m - x$ hosszú szakaszra osztja. A magasságtételt felírva: $m^{2} = x (4 m - x)$ , ahonnan $x^{2} - 4 m x + m^{2} = 0$ . Ezt $x$ -re megoldva kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{4 m \pm \sqrt[]{16 m^{2} - 4 m^{2}}}{2} = (2 \pm \sqrt[]{3}) m . \end{matrix}

Ha a

(2 + \sqrt[]{3}) m

hosszú rész és a hozzá csatlakozó befogó által bezárt szöget

α

jelöli, akkor

tg α = \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}}

. A számológép azt adja ki, hogy ekkor

α = 15^{\circ}

.
Valóban, az addíciós tételek szerint

\begin{matrix} tg 15^{\circ} = \frac{sin 30^{\circ}}{1 + cos 30^{\circ}} = \frac{1 / 2}{1 + \sqrt[]{3} / 2} = \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}} . \end{matrix}

Mivel

2 + \sqrt[]{3}

és

2 - \sqrt[]{3}

egymás reciproka, a másik szög tényleg

75^{\circ}

, a feladatnak tehát egyetlen megoldása van.

II. megoldás. Az átfogóhoz tartozó magasságot

m

-mel jelölve, a területet kétféleképpen felírva:

t = \frac{c^{2}}{8} = \frac{c m}{2}

, ebből

m = \frac{c}{4}

A B

szakasz felezőpontját jelölje

O

. A Thalész-tétel megfordítása szerint

O A = O B = O C = \frac{c}{2}

. A

C O T

háromszögben:

\begin{matrix} sin C O T ∢ = \frac{\frac{c}{4}}{\frac{c}{2}} = \frac{1}{2}, \end{matrix}

és mivel a szög hegyesszög, azért

C O T ∢ = 30^{\circ}

. Mivel ez a szög az

O A C

háromszög külső szöge,

C O T ∢ = O A C ∢ + O C A ∢ = 30^{\circ}

. Az

O A C

háromszög egyenlő szárú, így ebből

B A C ∢ = O A C ∢ = O C A ∢ = 30^{\circ} / 2 = 15^{\circ}

következik. A harmadik szög,

A B C ∢

nagysága pedig

75^{\circ}

III. megoldás. A háromszög oldalait és szögeit a szokásos módon jelöljük. Tudjuk, hogy

a = c sin α

és

b = c cos α

. Ezt felhasználva

\begin{matrix} \frac{c^{2}}{8} = t = \frac{a b}{2} = \frac{c sin α \cdot c cos α}{2}, \end{matrix}

innen

c^{2} \neq 0

-val való osztás és 4-gyel való szorzás után kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} = 2 sin α cos α = sin 2 α, \end{matrix}

amiből

2 α = 30^{\circ}

vagy

2 α = 150^{\circ}

, és így

α = 15^{\circ}

vagy

α = 75^{\circ}

következik.
Tehát a háromszög szögeinek pontos értéke

90^{\circ}

75^{\circ}

és

15^{\circ}