Feladat:	C.924	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2008/december, 534. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Téglatest, Terület, felszín, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: C.924

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. A Pitagorasz-tétel alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle e=\sqrt[]{a^2+b^2}\mathrm{,}f=\sqrt[]{b^2+c^2}\mathrm{,}g=\sqrt[]{a^2+c^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Tudjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=c\sqrt[]{a^2+b^2}=\mathrm{60,}{t}_2=a\sqrt[]{b^2+c^2}=4\sqrt[]{153}\mathrm{,}{t}_3=b\sqrt[]{a^2+c^2}=12\sqrt[]{10}\mathrm{.}}\end{array}$ A következő egyenleteket kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle c^2\left(a^2+b^2\right)}& {\displaystyle =\mathrm{3600,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{azaz}}& {\displaystyle a^2{c}^2+b^2{c}^2}\hfill & {\displaystyle =\mathrm{3600,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a^2\left(b^2+c^2\right)}& {\displaystyle =\mathrm{2448,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{azaz}}& {\displaystyle a^2{b}^2+a^2{c}^2}\hfill & {\displaystyle =\mathrm{2448,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b^2\left(a^2+c^2\right)}& {\displaystyle =\mathrm{1440,}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle \text{azaz}}& {\displaystyle a^2{b}^2+b^2{c}^2}\hfill & {\displaystyle =1440.}\hfill \end{array}}$ A három egyenletet összeadjuk és osztunk kettővel: $a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2=3744$. Mivel a bal oldalon álló bármely két tag összegét tudjuk, ebből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle a^2{b}^2=\mathrm{144,}{b}^2{c}^2=\mathrm{1296,}{a}^2{c}^2=2304.}\end{array}$ Mivel $a$, $b$ és $c$ pozitív, azért $ab=12$, $bc=36$, $ac=48$. Ezek alapján a téglatest felszíne: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=2\left(ab+ac+bc\right)=2\left(12+36+48\right)=192.}\end{array}$ Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle V^2=a^2{b}^2{c}^2=ab\cdot ac\cdot bc=12\cdot 48\cdot 36=20\mathrm{736,}}\end{array}$ a téglatest térfogata: $V=144$.