Kezdőlap


Feladat:	C.922	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Garamszegi Balázs
Füzet:	2008/december, 533. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Nevezetes azonosságok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: C.922

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Rendezzük át az egyenletet és alakítsuk szorzattá:

\begin{matrix} y^{4} - x^{2} = (y^{2} - x) (y^{2} + x) = 12. \end{matrix}

A szorzat tényezői a 12 osztói közül a következő párok lehetnek:

\begin{matrix} (1; 12), (- 1; - 12), (2; 6), (- 2; - 6), (3; 4), (- 3; - 4) . \end{matrix}

Az eredeti egyenletből leolvashatjuk, hogy

y^{4}

és

x^{2}

, és ezzel együtt

y

és

x

paritása megegyezik, vagyis vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan. Így csak a következő eseteket kell vizsgálnunk:

(2; 6)

és

(- 2; - 6)

.
Legyen először

\begin{matrix} \begin{matrix} y^{2} - x = 2, \\ y^{2} + x = 6, \end{matrix} vagy \begin{matrix} y^{2} - x = 6, \\ y^{2} + x = 2. \end{matrix} \end{matrix}

\begin{matrix} Az első egyenletrendszerből: & 2 y^{2} = 8, & y = \pm 2 & és & x = 2. \\ A második egyenletrendszerből: & 2 y^{2} = 8, & y = \pm 2 & és & x = - 2. \end{matrix}

Ha viszont

y^{2} - x = - 2

és

y^{2} + x = - 6

, akkor

2 y^{2} = - 8 < 0

miatt nincs megoldása az egyenletnek.
Hasonlóképpen, ha

y^{2} - x = - 6

és

y^{2} + x = - 2

, akkor sincs megoldás.
Az egyenlet összes megoldása: ha

x = 2

, akkor

y = 2

vagy

y = - 2

; vagy ha

x = - 2

, akkor

y = 2

vagy

y = - 2