Feladat: C.921 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Földi Sándor 
Füzet: 2008/december, 531 - 533. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számsorozatok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2007/december: C.921

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel az osztályzatok módusza 4,5, a 4,5 biztosan eleme az osztályzatok kettes terjedelmének. Így a feladat két esetre bontható: az osztályzatok 3-tól 5-ig terjednek, vagy 2,5-től 4,5-ig. Mivel 16-an írták meg a dolgozatot, a medián az osztályzatokat növekvő sorrendbe rendezve a két középső jegy számtani közepe lesz, így a feladat további két esetre bontható: a két középső osztályzat 4-es, vagy az egyik 3,5, a másik pedig 4,5. Így a feladat összesen négy esetre bontható.
Mivel a módusz 4,5, mindegyik esetben legalább négyszer fordul elő, hiszen egyébként legfeljebb 5⋅3=15 diák írhatott volna dolgozatot.
I. eset. Az osztályzatok 3-tól 5-ig terjednek, a két középső 4-es. Ebben az esetben egy 5-ös biztosan van. Az átlag annál rosszabb, minél több a rossz jegy, így ezt figyelembe véve a legrosszabb átlagot a következőképpen kaphatjuk:

3;3;3;3;3;3,5;3,5;4;4;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;5
vagy
3;3;3;3;3,5;3,5;3,5;4;4;4;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;5.
(Nem lehet kevesebb 4,5, mert akkor nem az lenne a módusz.)
Az átlag mindkét esetben 6216=3,875.
II. eset. Az osztályzatok 3-tól 5-ig terjednek, a két középső jegy 3,5 és 4,5.
Ebben az esetben is biztosan van egy 5-ös, és így a legrosszabb átlagot adó osztályzatok:
3;3;3;3;3;3;3,5;3,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;5.
(Nem lehet eggyel több 3-as, hiszen akkor nem 4,5 lenne a módusz.)
Az átlag 61,516=3,84375.
III. eset. Az osztályzatok 2,5-től 4,5-ig terjednek, a két középső 4-es. A legrosszabb átlagot adó jegyek:
2,5;2,5;2,5;2,5;3;3;3;4;4;4;4;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5.
(Se 2,5, se 4 nem lehet több.)
Ekkor az átlag 57,516=3,59375.
IV. eset. Az osztályzatok 2,5-től 4,5-ig terjednek, a két középső a 3,5 és a 4,5. A legrosszabb átlagot adó jegyek:
2,5;2,5;2,5;2,5;2,5;2,5;2,5;3,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5;4,5.
Az átlaguk 5716=3,5625.
Ezek alapján az összes lehetőség közül a legrosszabb átlag a IV. esetben van. Ekkor nincs ötös osztályzat, ezért Pisti azt válaszolta, hogy nem kaphatott ötöst a dolgozatára.
 
II. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy minden mintához, amelynél van a jegyek között jeles, hozzárendelhető egy másik minta, amelyben nincs jeles, és az átlaga kisebb. Ha van 5-ös, akkor lennie kell 3-asnak a mintában, mert a terjedelem 2. Egy 3-ast cseréljünk ki 2/3-adra, és az összes 5-öst 4/5-re: így a terjedelem és a medián nem változik, és a módusz is marad 4/5. A jegyek összege biztosan csökkent, tehát az átlag is. Így a legkisebb átlagú minta biztosan nem tartalmaz 5-öst, tehát Pisti válasza nemleges volt.
 
Megjegyzés. Sokan nem indokolták, hogy miért nincs 5-ös osztályzat a legrosszabb esetben. Többen úgy gondolták, ha találtak egy 2,5‐4,5 közötti megoldást, akkor egy 5-öst tartalmazó eset átlaga ennél nem lehet kisebb. Ez igaz, de egyáltalán nem nyilvánvaló.