Kezdőlap


Feladat:	C.920	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Meszlényi Regina
Füzet:	2008/december, 531. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú függvények, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Téglalapok, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: C.920

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A 44 méter hosszú drótból az elkerített téglalap három oldala kell hogy kijöjjön, s ezek között két egyenlő hosszú, párhuzamos oldal lesz. Tehát, ha a téglalap oldala $a$ és $b$ , akkor $2 a + b = 44$ , az elkerített terület pedig $a b$ .
A $2 a + b = 44$ egyenletből a $b$ -t kifejezve $b = 44 - 2 a$ -t kapunk. Az $a b$ maximumát keressük, amibe $b$ -t behelyettesítve:

\begin{matrix} a b & = a (44 - 2 a) = 44 a - 2 a^{2} = - 2 (a^{2} - 22 a) = - 2 [{(a - 11)}^{2} - 121] = \\ = - 2 {(a - 11)}^{2} + 242. \end{matrix}

Ha az

f (a) = - 2 {(a - 11)}^{2} + 242

hozzárendelésű függvény képét koordinátarendszerben ábrázolnánk, akkor egy lefelé nyíló parabolát kapnánk. A függvény maximuma 242, és ezt az

a = 11

helyen veszi fel.

a)

Ha méterenként tűzhető le a drót, akkor a rövidebb oldal

a = 11

méter, a másik oldal pedig:

b = 44 - 2 \cdot 11 = 22

méter. Ekkor a maximális terület:

t = 242 m^{2}

b)

Ha a drót csak 2 méterenként tűzhető le, akkor az

a

oldal nyilván nem lehet 11 méter. A függvény

x < 11

esetén szigorúan monoton nő,

x > 11

esetén pedig szigorúan monoton csökken. Ezt felhasználva a következő két lehetőség adódik:

a = 12

m és

b = 20

m vagy

a = 10

m és

b = 24

m. A terület mindkét esetben

240 m^{2}