Feladat: B.4076 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Fonyó Dávid 
Füzet: 2008/november, 476 - 478. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Háromszög területe, Többszemélyes véges játékok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/március: B.4076

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha Nóra az N1=A vagy N1=B pontot választaná, akkor Kristóf a K pontot a C, illetve B ponthoz elegendően közel választva elérheti, hogy N1KN2 háromszög területe 0-hoz tetszőlegesen közel legyen, attól függetlenül, hogy Nóra hol jelöli ki AC oldalon az N2 pontot.
Tehát Nórának az AB oldal belsejében kell kijelölnie az N1 pontot.
Tegyük fel, hogy Nóra választása esetén AN1=λAB (0<λ<1). A továbbiakban meg fogjuk mutatni, hogy ekkor Kristófnak a legjobb játékstratégiája esetén úgy kell megválasztania a BC oldalon a K pontot, hogy N1K∥AC teljesüljön. Ebben ez esetben Nóra akárhol is adja meg az AC oldalon az N2 pontot, mindig azonos területhez fog jutni, mivel az N1KN2 háromszögben az N1K oldalhoz tartozó magasság mindenképpen a két párhuzamos egyenes távolsága lesz.
Ha Kristóf a BC oldalon olyan K' pontot választana, melyre BK'<BK, akkor például Nóra N2'=C választása esetén az N1K'C háromszög tartalmazza az N1KC háromszöget, ezért T(N1KN2▵)=T(N1KC▵)<T(N1K'C▵), emiatt Kristóf nem a legjobb stratégiát választaná (1. ábra).

 

 
1. ábra
 

Ha Kristóf a BC oldalon olyan K'' pontot választana, melyre BK''>BK, akkor például Nóra N2''=A választása esetén
T(N1KN2▵)=T(N1KA▵)<T(N1K''A▵).
A két utóbbi háromszög AN1 oldala közös, és az ehhez tartozó magasság az utóbbi háromszögnél nagyobb (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

(Az ábrán β hegyesszög, de a fenti megállapítások β=90∘ és β>90∘ esetén is érvényesek.)
Így beláttuk, hogy Kristófnak mindenképpen úgy kell megválasztani a BC oldalon a K pontot, hogy N1K∥AC legyen, és ekkor a Nóra által a CA oldalon megadott N2 ponttól már független az N1KN2 háromszög területe.
Tehát a helyes játékstratégia esetén λ jó megválasztásától függ az N1KN2 háromszög területének maximuma.
N1K∥AC miatt N1BK▵ és ABC▵ hasonló, mivel KN1B∢=CAB∢ és BKN1∢=BCA∢ (3. ábra).
Mivel N1B=(1-λ)AB, a korábban megállapított hasonlóság alapján N1K=(1-λ)AC=(1-λ)b, és az N1BK▵-ben a B csúcshoz tartozó magasság hossza (1-λ)⋅mb.
Így az N1K és az AC párhuzamos oldalak távolsága mb-(1-λ)mb=λmb, ezért az N1KN2 háromszög területe:
(1-λ)b⋅λmb2=λ(1-λ)TABC▵.
A számtani és a mértani közép közti összefüggés alapján:
λ(1-λ)≤[λ+(1-λ)2]2=14.
Az egyenlőség λ=1-λ, azaz λ=12 esetén teljesül.
 

 
3. ábra
 

Tehát a helyes játékstratégia esetén:
‐ Nóra az AB oldal felezőpontját választja N1-nek;
‐ Kristóf a BC oldal felezőpontját választja K-nak (N1K középvonal ∥AC);
‐ Végül Nóra tetszőleges N2 pontot jelöl ki az AC oldalon.
Így az N1KN2 háromszög területe az ABC háromszög területének 14-ed része.