Feladat: B.4071 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Aujeszky Tamás ,  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Énekes Péter ,  Kiss Réka ,  Márkus Bence ,  Mihálykó Ágnes ,  Nagy Donát ,  Somogyi Ákos ,  Szalkai Balázs ,  Tossenberger Anna ,  Varga László ,  Véges Márton ,  Weisz Ágoston 
Füzet: 2008/október, 411 - 412. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egészrész, törtrész függvények, Gyökös függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/február: B.4071

Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív n egész számra
minkN[k+nk]=[4n+1].

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen k+nk=f(n,k), ennek ‐ adott n-re ‐ a minimumát jelölje f(n). Ez a minimum mindig létezik, hiszen kN és rögzített n mellett f(n,k) egy adott számnál kisebb értéket csak véges sok helyen vehet fel. Észrevehetjük továbbá, hogy a bizonyítandó azonosság bal oldala ‐ az egészrész függvény monoton növekedése amiatt ‐ éppen [f(n)].
Minden k-ra nyilván k+nk<k+n+1k; ezért f(n,k)<f(n+1,k), és így f(n)<f(n+1).
Megmutatjuk, hogy f(m(m+1))=2m+1. Egyrészt minden pozitív egész számra

a+m2+ma2m+1,
mivel az a-val történő szorzás révén ez ekvivalens a nyilvánvalóan fennálló (a-m)2a-m egyenlőtlenséggel. Másrészt látható, hogy egyenlőség is teljesülhet, mégpedig pontosan akkor, ha a=m vagy a=m+1. Hasonlóan láthatjuk be, hogy f(m2)=2m: hiszen a+m2a2m ekvivalens (a-m)20-val, ahol egyenlőség az a=m esetben következik be.
Tekintsük ezután az 12, 12, 22, 23, ..., (n-1)n, n2, n(n+1), ... számokból álló (cn) sorozatot, amelyen az f függvény értékei rendre: 2,3,4,5,.... Ha n tetszőleges pozitív egész, akkor létezik, mégpedig egyértelműen olyan t index, amelyre ctn<ct+1; mivel f(ct) és f(ct+1) egymást követő (pozitív) egészek, azért
[f(n)]=f(ct).
Ugyanezek az összefüggések a g(n)=[4n+1] függvényre is fennállnak:
g(m2)=[4m2+1]=2m=f(m2),
hiszen (2m)2<4m2+1<4m2+4m+1=(2m+1)2. Hasonlóan
g(m(m+1))=[4m(m+1)+1]=[(2m+1)2]=2m+1=f(m(m+1)).
Így, ha ctn<ct+1, akkor az egész számokból álló (g(n)) sorozat monoton növekedése miatt ugyancsak g(n)=g(ct)=f(ct)=[f(n)], azaz g(n)=[f(n)] ‐ ami a feladat állítását bizonyítja.
 

Megjegyzés. A feladatra legelőször rápillantva óhatatlanul a kéttagú számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség juthat eszünkbe: pozitív a, b számokra a+b2ab. Ennek jól ismert következménye, hogy ha ab=c állandó, úgy a+b akkor a legkisebb, ha a=b=c. Mivel a feladatban a csak egész szám lehet, hajlamosak lehetünk az iménti elvet a következőképpen ,,általánosítani'': a+b annál kisebb, minél közelebb van a a c-hez. Meglepő lehet, de ez a sejtés így, általában hamis: pl. c=20, a1=3, a2=6 esetén
|3-20|<|6-20|,  de  3+203>6+206.