Kezdőlap


Feladat:	C.919	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Paál László
Füzet:	2008/október, 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Derékszögű háromszögek geometriája, Thalesz tétel és megfordítása, Oldalak aránya és szögek közötti kapcsolat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/november: C.919

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az $A B C$ háromszög $A B$ átfogójának felezőpontja legyen $O$ , az átfogó felező merőlegese messe az $A C$ befogót a $D$ pontban. A keletkezett $O B C D$ négyszög átlói legyenek $f$ és $g$ az ábra szerint. Mivel $D$ illeszkedik az $A B$ szakasz felező merőlegesére, az $A$ és a $B$ ponttól egyenlő távolságra van: $A D = B D = f$ . A Thalész-tétel megfordítása szerint pedig $O A = O B = O C = g$ .

Mivel

\frac{1 + \sqrt[]{3}}{2 \sqrt[]{2}} < 1

, azt kaptuk, hogy

\begin{matrix} cos O A D ∢ = \frac{A O}{A D} = \frac{g}{f} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} B A C ∢ = O A D ∢ = 15^{\circ} és A B C ∢ = 75^{\circ} . \end{matrix}

Megjegyzés. A kapott eredmény pontos, hiszen

\begin{matrix} cos 15^{\circ} = cos (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} + \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt[]{3}}{2 \sqrt[]{2}} . \end{matrix}