Eisenberger András megoldása. $N/M=2^{k-n}$.
Alkossunk egy megfeleltetést úgy, hogy minden $M$-beli sorozatot $2^{k-n}$ db $N$-belinek feleltetünk meg úgy, hogy minden $N$-belit pontosan egyszer kapjunk meg.
Vegyünk egy $M$-beli $m$ sorozatot. (Ebben a sorozatban tehát 1-től $n$-ig minden lámpát páratlan sokszor kapcsoltunk át.) Induljunk el sorban a sorozat lépésein. Amikor olyan lámpát kapcsolnánk át (legyen az $i$. lámpa), amit $m$ szerint még egy későbbi lépésben is kapcsolunk majd, akkor kétféleképp folytathatjuk: az $i$. lámpát vagy az $\left(n+i\right)$. lámpát kapcsoljuk, ezután tovább megyünk a következő lépésre. Ha nem ilyen a lépés, tehát $m$-ben már többször nem kapcsolnánk ezt a lámpát, akkor megnézzük, hogy eddig hányszor kapcsoltuk az $i$. lámpát. Ha páros sokszor, akkor most is az $i$. lámpát kapcsoljuk, ha páratlan sokszor, akkor az $\left(n+i\right)$. lámpát (itt tehát nincs választásunk). Ezzel a módszerrel a végén az $i$. lámpa biztosan be lesz kapcsolva, az $\left(n+i\right)$. pedig biztosan ki, mivel az eredeti sorozatban és most is az $i$. páratlan sokszor szerepelt, így most az $\left(n+i\right)$. lámpát biztosan páros sokszor kapcsoltuk. Mindamellett az eredeti sorozathoz hasonlóan $k$ lépést hajtottunk végre, ezért az így kapott sorozat $N$ eleme.
A sorozat alkotása során az első $n$ lámpát legalább egyszer kapcsoltuk, így $n$ olyan lépés volt, amikor valamelyiket utoljára kapcsoltuk, tehát a maradék $\left(k-n\right)$ lépés volt az a fajta, ahol választásunk volt. Vagyis az $M$ minden eleméhez az $N$-nek $2^{k-n}$ elemét rendeltük. Már csak azt kell megmutatnunk, hogy $N$ minden elemét pontosan egyszer kaptuk meg. Ez azért igaz, mert ha veszünk egy sorozatot $N$-ből, és minden olyan kapcsolás helyett, ahol az $\left(n+i\right)$. lámpát kapcsolnánk, az $i$. lámpát kapcsoljuk, akkor megkapjuk $M$-nek azt az egyetlen sorozatát, amiből ezt az $N$-beli sorozatot kaphatjuk. És az is egyértelmű, hogy melyik döntésnél hogyan kell dönteni ahhoz, hogy ezt kaphassuk.