A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kiss Viktor megoldása. Helyettesítsük be -et. Teljesül az feltétel, tehát | |
, tehát egyszerűsíthetünk vele, kapjuk, hogy . Ezután helyettesítsünk be , , -t, ahol tetszőleges pozitív valós szám. Teljesül, hogy , tehát | |
és is pozitív, tehát szorozhatunk velük, kapjuk, hogy azaz Ez másodfokú egyenlet -ra, megoldásai a következők: | | Ha , akkor | | Ha , akkor | | Tehát megkaptuk, hogy értéke tetszőleges -ra vagy . Tegyük fel, hogy létezik , hogy Helyettesítsünk be , , , -t. I. eset: . Ekkor | | ami nem lehet, hiszen és pozitív, tehát . II. eset: . Ekkor | | ami csak akkor teljesülhetne, ha teljesülne (hiszen pozitív), de ez nem igaz. Tehát megkaptuk, hogy vagy minden -re , vagy minden -re (mivel , azért a két szóba jövő függvény az és az ). Most belátjuk, hogy mindkét függvény teljesíti a feladat feltételeit. Ha az -et tekintjük, akkor | | triviálisan teljesül. Ha , akkor
Tehát csak az f(x)=x és f(x)=1x függvények teljesítik a feladat feltételeit, és ezek valóban teljesítik azokat. |