A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Korándi Dániel megoldása. Legyen , , .
azaz | | (1) |
Ugyanakkor
Azt kaptuk tehát, hogy , a feladat része pedig pont ezt kérdezi. A rész végtelen sok olyan racionális számokból álló hármast keres, amire és felhasználva (2)-t, . (1) szerint akkor és csak akkor teljesül, ha , ami ekvivalens -val, mivel . (, , egyike sem 0, mivel a szorzat 1. Ekkor viszont , , sem lehet 0.) Visszaírva , , értékét: 3-at hozzáadva mindkét oldalhoz: Azaz olyan számhármasokat keresünk, amire és , valamint . Írjunk be helyébe -t. racionális megoldásait keressük. Szorozva -vel egy másodfokú egyenletet kapunk -ra: Olyan racionális -t keresünk, amire ennek az egyenletnek a gyökei is racionálisak, ehhez az kell, hogy a diszkrimináns egy racionális szám négyzete legyen:
Mivel racionális, azért egy racionális szám négyzete, így szükséges, hogy is egy racionális szám négyzete legyen. Ehhez viszont tetszőleges racionális -ra elég -et választani. Ekkor is racionális lesz, s így is. Tehát van végtelen sok racionális megoldás. Ezzel igazoltuk a részt is. |