Feladat: 2008. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kornis Kristóf 
Füzet: 2008/október, 388. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Oldalfelező merőleges, Magasságpont, Körülírt kör, Hatványvonal, hatványpont, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/szeptember: 2008. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kornis Kristóf megoldása. Legyenek rendre ka, kb, kc az A1A2, B1B2, C1C2 átmérőjű körök; FAB, FBC, FCA rendre az AB, BC, CA szakaszok felezőpontjai. Két kör hatványvonala nyilvánvalóan merőleges a középpontjaikat összekötő egyenesre. Emiatt ka és kb hatványvonala, és CH is merőleges FBCFAC-re, de mivel mindkettőnek eleme H, e két egyenes egybeesik, azaz a C pontnak a ka és kb körökre vonatkozó hatványa megegyezik. Vagyis

CA1CA2=CB1CB2.

 
 

Azaz A1, A2, B1, B2 egy körön fekszenek, melynek középpontja az A1A2 és a B1B2 szakaszok felezőmerőlegeseinek metszéspontja. Ezek a felezőmerőlegesek viszont éppen egybeesnek az oldalfelező merőlegesekkel, azaz az A1A2B1B2 kör középpontja O, ha O a körülírt kör középpontja, tehát
OA1=OA2=OB1=OB2.
Hasonlóan bizonyíthatjuk, hogy
OA1=OA2=OC1=OC2OA1=OA2=OB1=OB2==OC1=OC2.