Kezdőlap


Feladat:	B.4050	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Papp Ádám
Füzet:	2008/szeptember, 343 - 344. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: B.4050

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Egy harmadfokú egyenletnek mindig van legalább egy valós gyöke, legyen ez $b$ ; látható, hogy $b \neq 1$ . Megmutatjuk, hogy akkor az egyenletnek $\frac{1}{1 - b}$ is gyöke:

\begin{matrix} {(\frac{1}{1 - b})}^{3} - {(\frac{1}{1 - b})}^{2} - 2 \cdot \frac{1}{1 - b} + 1 \overset{?}{=} 0. \end{matrix}

Alakítsuk át az egyenletet. Az

{(1 - b)}^{3}

-nal az egyenlet oldalait beszorozva:

\begin{matrix} 1 - (1 - b) - 2 {(1 - b)}^{2} + {(1 - b)}^{3} \overset{?}{=} 0. \end{matrix}

A zárójeleket kibontva és összevonás után kapjuk, hogy

\begin{matrix} - 1 + 2 b + b^{2} - b^{3} = 0, \end{matrix}

ami megegyezik az eredeti egyenlettel, tehát az egyenletnek

b

mellett az

\frac{1}{1 - b}

is gyöke.
Mivel

a = \frac{1}{1 - b}

, az egyenlet két valós gyökére valóban igaz, hogy

a - a b = 1

II. megoldás. Az egyenlet bal oldalát alkotó harmadfokú függvény értéke

- 2

-ben

- 7

- 1

-ben 1, 0-ban 1, 1-ben

- 1

, 2-ben pedig ismét 1; ezért biztosan van (valós) gyöke

- 2

és 0 között,

0

és 1 között valamint

1

és 2 között. Ezek szerint az egyenletnek három valós gyöke van,

x_{1}

x_{2}

x_{3}

. Tekintsük a

\begin{matrix} P = (1 - x_{1} + x_{1} x_{2}) (1 - x_{3} + x_{3} x_{2}) \end{matrix}

szorzatot. A beszorzást elvégezve, a Vite-formulák szerint:

\begin{matrix} P & = & 1 - x_{3} + x_{3} x_{2} - x_{1} + x_{3} x_{1} - x_{1} x_{2} x_{3} + \\ + x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} x_{3} + x_{1} x_{2}^{2} x_{3} = \\ = & 1 - (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + x_{2} + \\ + (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) - 2 x_{1} x_{2} x_{3} + (x_{1} x_{2} x_{3}) x_{2} = \\ = & 1 - 1 + x_{2} - 2 - 2 (- 1) + (- 1) x_{2} = 0. \end{matrix}

Mivel a

P

szorzat nulla, valamelyik tényezője nulla ‐ ezt akartuk belátni.

Megjegyzés. Mindkét bizonyításból kiolvasható, hogy amelyik

P

-beli tényező nulla, abban ciklikusan permutálva a gyököket ugyancsak nullát kapunk. Belátható továbbá még az is, hogy ha például

x_{1} > x_{2} > x_{3}

, akkor

\begin{matrix} x_{1} - x_{1} x_{2} = x_{2} - x_{2} x_{3} = x_{3} - x_{3} x_{1} = 1. \end{matrix}