Kezdőlap


Feladat:	B.4046	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Schindele Kornélia , Végsõ Tamás
Füzet:	2008/szeptember, 340 - 341. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: B.4046

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $x = \sqrt[]{a}$ és $y = \sqrt[]{b}$ , ekkor az egyenletrendszer így alakul:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} & = 183, & (1) \\ x^{2} y + y^{2} x & = 182. & (2) \end{matrix}

Felhasználva, hogy

\begin{matrix} {(x + y)}^{3} = (x^{3} + y^{3}) + 3 (x^{2} y + y^{2} x) = 183 + 3 \cdot 182 = 729 = 9^{3}, \end{matrix}

kapjuk, hogy

x + y = 9

. (1) és (2) különbségét felírva:

\begin{matrix} 1 = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) - x y (x + y) = (x + y) (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = (x + y) {(x - y)}^{2} . \end{matrix}

x + y

előbb kapott értékét behelyettesítve kapjuk, hogy

{(x - y)}^{2} = \frac{1}{9}

. Két eset van:
I. eset:

x + y = 9

és

x - y = \frac{1}{3}

. Ebből

x = \frac{14}{3}

és

y = \frac{13}{3}

, ahonnan

a = \frac{196}{9}

és

b = \frac{169}{9}

.
II. eset:

x + y = 9

és

x - y = - \frac{1}{3}

. Ekkor

x = \frac{13}{3}

és

y = \frac{14}{3}

, amiből

a = \frac{169}{9}

és

b = \frac{196}{9}

Megjegyzés: Célhoz érünk úgy is, ha az első lépésben kapott

x + y = 9

egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és ezt visszahelyettesítjük mondjuk az (1) egyenletbe.

II. megoldás. Az első egyenlet 182-szereséből kivonva a második egyenlet 183-szorosát kapjuk, hogy:

\begin{matrix} 182 a \sqrt[]{a} + 182 b \sqrt[]{b} - 183 a \sqrt[]{b} - 183 b \sqrt[]{a} = 0. \end{matrix}

Mivel

b = 0

nem ad megoldást, az egyenletet oszthatjuk

{(\sqrt[]{b})}^{3}

-nal:

\begin{matrix} 182 \cdot \frac{{(\sqrt[]{a})}^{3}}{{(\sqrt[]{b})}^{3}} + 182 - 183 \cdot \frac{{(\sqrt[]{a})}^{2}}{{(\sqrt[]{b})}^{2}} - 183 \cdot \frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}} = 0. \end{matrix}

x = \frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}}

jelölést bevezetve az egyenlet így írható:

\begin{matrix} 182 x^{3} + 182 - 183 x^{2} - 183 x = 0. \end{matrix}

A bal oldal szorzattá bontásával ezt kapjuk:

\begin{matrix} (x + 1) (182 x^{2} - 365 x + 182) = 0. \end{matrix}

Mivel

x = - 1

nem ad megoldást, a két megoldást a második tényezőből adódó másodfokú egyenlet gyökei adják:

x_{1} = \frac{14}{13}

és

x_{2} = \frac{13}{14}

.
Az első esetben

\frac{\sqrt[]{a}}{\sqrt[]{b}} = \frac{14}{13}

, amiből

\sqrt[]{a} = \frac{14}{13} \sqrt[]{b}

, és innen

a = \frac{196}{169} b

. Ezt behelyettesítve az eredeti első egyenletbe kapjuk, hogy:

\begin{matrix} \frac{196}{169} b \cdot \frac{14}{13} \sqrt[]{b} + b \sqrt[]{b} & = & 183, \\ b \sqrt[]{b} \cdot (\frac{2744}{2197} + 1) = b \sqrt[]{b} \cdot \frac{4941}{2197} & = & 183, \\ b \sqrt[]{b} = \frac{402 051}{4941} = \frac{2197}{27} & = & {(\frac{13}{3})}^{3} . \end{matrix}

Tehát

\sqrt[]{b} = \frac{13}{3}

, vagyis

b = \frac{169}{9}

, ahonnan

\begin{matrix} a = \frac{196}{169} \cdot \frac{169}{9} = \frac{196}{9} . \end{matrix}

Mivel az eredeti egyenletrendszer szimmetrikus

a

-ra és

b

-re, a másik esetben azt kapjuk, hogy

a = \frac{169}{9}

és

b = \frac{196}{9}