Kezdőlap


Feladat:	B.4045	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth László
Füzet:	2008/szeptember, 338 - 339. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani helyek, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Húrnégyszögek, Eltolás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2007/december: B.4045

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Mivel $A O B ∢ + A C B ∢ = 120^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ minden olyan esetben, amikor $A \neq O$ és $B \neq O$ , azért az elfajuló esettől eltekintve az $A O B C$ négyszög húrnégyszög. Ezért $C A B ∢ = C O B ∢ = 60^{\circ}$ , hiszen mindkettő a $C B$ ívhez tartozó kerületi szög. Ebből következik, hogy $C$ rajta van az $A O B ∢$ szögfelezőjén.
Az $A O C$ háromszögben $A C O ∢ < 60^{\circ}$ , $C A O ∢ > 60^{\circ}$ és $A O C ∢ = 60^{\circ}$ , ezért a háromszög legnagyobb oldala a $C A O ∢$ -gel szemközti oldal, vagyis $C O$ , ami így nagyobb $A C = 1$ -nél.

1. ábra

Tudjuk még, hogy

A C = B C = 1

, és így a

C

pont az

O A

és az

O B

félegyenestől is legfeljebb 1 távolságra van, méghozzá pontosan akkor 1 a távolság, amikor

A C ⊥ A O

és

B C ⊥ B O

‐ vagyis amikor

A B ⊥ O C

.
Ezt ábrázolva kapjuk, hogy a 2. ábrán látható

C_{1} C_{2}

szakasz pontjai lehetnek csak megfelelőek, ahol

O C_{1} = 1

, az

O C_{2}

szakasz hossza pedig

\begin{matrix} \frac{1}{O C_{2}} = sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt[]{3}}{2} miatt: O C_{2} = \frac{2}{\sqrt[]{3}} . \end{matrix}

2. ábra

Beláttuk, hogy minden feltételnek megfelelő

A

és

B

esetén

C \in C_{1} C_{2}

.
Be kell még látni, hogy a

C_{1} C_{2}

szakasz minden pontja jó, vagyis minden

C^{*} \in C_{1} C_{2}

ponthoz létezik

A^{*}

és

B^{*}

a megfelelő szögszárakon úgy, hogy az

A^{*} B^{*} C^{*} ▵

szabályos és egységoldalú, valamint

A^{*} B^{*}

elválasztja egymástól az

O

és a

C^{*}

pontot.

3. ábra

C_{1}

-et akkor kapjuk, ha

A^{*} = O

vagy

B^{*} = O

(a 3. ábrán az így kapott

A_{1} B_{1} C_{1} ▵

látható: ekkor

A^{*} = A_{1}

). (Értelmezés kérdése, hogy ebben az esetben

A^{*} B^{*}

elválasztja-e

O

-t és

C^{*}

-ot.)

C_{2}

-t pedig akkor kapjuk, amikor

A^{*} B^{*} ⊥ O C^{*}

, az ábrán ez az

A_{2} B_{2} C_{2} ▵

.
Ha a háromszöget folytonosan úgy mozgatjuk, hogy az

A

csúcs

A_{1}

-ből

A_{2}

-be kerüljön, akkor a

C

csúcs is folytonosan vándorol át a

C_{1}

pontból

C_{2}

-be, vagyis az egész

C_{1} C_{2}

szakaszt befutja. (Ha tovább mozgatjuk a háromszöget, amíg az

A

csúcs az

O

pontba ér, akkor a

C

csúcs a

C_{2}

pontból a

C_{1}

-be mozogva még egyszer befutja a

C_{1} C_{2}

szakaszt.)