Kezdőlap


Feladat:	B.3928	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dobribán Edgár , Farkas Ádám László , Peregi Tamás , Szûcs Gergely
Füzet:	2008/szeptember, 332 - 333. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/szeptember: B.3928

r

sugarú kör egy belső pontja

P

. Egy

P

csúcsú derékszög szárai messék a kört

A

-ban és

B

-ben. A

B P A

háromszöget egészítsük ki a

P A Q B

téglalappá. Milyen pályán mozog a

Q

pont, miközben a derékszög körbefordul

P

körül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kör középpontja $O$ , $O P = d$ . Az $O$ pontból az $A P$ , illetve $B P$ egyenesre állított merőleges talppontját jelölje $F$ és $G$ . A Pitagorasz-tétel többszöri alkalmazásával:

\begin{matrix} O Q^{2} = A F^{2} + B G^{2} = (r^{2} - O F^{2}) + (r^{2} - O G^{2}) = 2 r^{2} - O P^{2}, \end{matrix}

vagyis a

Q

pont az

O

középpontú,

\sqrt[]{2 r^{2} - d^{2}}

sugarú körvonalon helyezkedik el.

Továbbá igaz az is, hogy

Q

az egész körvonalat befutja, midőn a derékszög körbefordul

P

körül. Ehhez legyen

Q'

a kör egy tetszőleges pontja, vagyis

O Q' = \sqrt[]{2 r^{2} - d^{2}}

. Legyen

A' P B' Q

az a téglalap, amire

O A' = O B' = : r'

(

A'

és

B'

P Q

Thalesz-körének és ennek

K

középpontján átmenő

O K

-ra merőleges egyenesnek a két metszéspontja). Az előbbi eredményünket az

r

sugarú kör helyett az

r'

sugarúra alkalmazva azt kapjuk, hogy

O Q' = \sqrt[]{2 r'^{2} - d^{2}}

, így

r = r'

, vagyis

Q'

A' P B'

derékszögből származik.