Feladat: B.3928 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dobribán Edgár ,  Farkas Ádám László ,  Peregi Tamás ,  Szûcs Gergely 
Füzet: 2008/szeptember, 332 - 333. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Mértani helyek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/szeptember: B.3928

Az r sugarú kör egy belső pontja P. Egy P csúcsú derékszög szárai messék a kört A-ban és B-ben. A BPA háromszöget egészítsük ki a PAQB téglalappá. Milyen pályán mozog a Q pont, miközben a derékszög körbefordul P körül?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a kör középpontja O, OP=d. Az O pontból az AP, illetve BP egyenesre állított merőleges talppontját jelölje F és G. A Pitagorasz-tétel többszöri alkalmazásával:

OQ2=AF2+BG2=(r2-OF2)+(r2-OG2)=2r2-OP2,
vagyis a Q pont az O középpontú, 2r2-d2 sugarú körvonalon helyezkedik el.
 
 

Továbbá igaz az is, hogy Q az egész körvonalat befutja, midőn a derékszög körbefordul P körül. Ehhez legyen Q' a kör egy tetszőleges pontja, vagyis OQ'=2r2-d2. Legyen A'PB'Q az a téglalap, amire OA'=OB'=:r' (A' és B' a PQ Thalesz-körének és ennek K középpontján átmenő OK-ra merőleges egyenesnek a két metszéspontja). Az előbbi eredményünket az r sugarú kör helyett az r' sugarúra alkalmazva azt kapjuk, hogy OQ'=2r'2-d2, így r=r', vagyis Q' az A'PB' derékszögből származik.