Kezdőlap


Feladat:	B.3844	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Péter
Füzet:	2007/január, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Hozzáírt körök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2005/október: B.3844

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje a $b$ oldalhoz hozzáírt kör középpontját $O$ , az $a$ , $b$ és $c$ oldalegyenesen lévő érintési pontját pedig rendre $D$ , $E$ és $F$ .

Mivel az

O D C E

négyszögnek

D

-nél is,

C

-nél is és

E

-nél is derékszöge van, így nyilván

O

-nál is, tehát téglalap. Ugyanakkor két szomszédos oldala ugyanolyan hosszú (sugárnyi), így szükségképpen négyzet, amelynek oldala a hozzáírt kör sugara,

ϱ_{b}

.
Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz hossza egyenlő, ezért

A E = A F

és

B D = B F

. Az előző megállapításainkkal egybevetve:

\begin{matrix} A E = A F = b - ϱ_{b}, és B D = B F = c + b - ϱ_{b} . \end{matrix}

Másrészt

B D = a + ϱ_{b}

, így

a + ϱ_{b} = c + b - ϱ_{b}

, azaz

b + c = a + 2 ϱ_{b}

II. megoldás. Ismeretes, hogy egy háromszög területe kiszámítható az alábbi összefügésekkel:

(1)	$T = ϱ_{b} (s - b) = ϱ_{b} \frac{a + c - b}{2}$ , ahol $s$ a háromszög fél kerülete;

(2)	$T = \frac{a \cdot b}{2}$ , hiszen a háromszög derékszögű.

Ezek alapján

\frac{a \cdot b}{2} = ϱ_{b} \frac{a + c - b}{2}

, így

ϱ_{b} = \frac{a \cdot b}{a + c - b}

. Az állítás tehát pontosan akkor igaz, ha a

\frac{2 \cdot a \cdot b}{a + c - b} + a = b + c

összefüggés teljesül. Ezt azonosan átalakítva:

\begin{matrix} 2 a b + a^{2} + a c - a b = a b + a c + c^{2} - b^{2}, a^{2} + b^{2} = c^{2} . \end{matrix}

Állításunk ekvivalens a Pitagorasz-tétellel, erről pedig ‐ derékszögű háromszögről lévén szó ‐ tudjuk, hogy igaz.
Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.