A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelölje a oldalhoz hozzáírt kör középpontját , az , és oldalegyenesen lévő érintési pontját pedig rendre , és .
Mivel az négyszögnek -nél is, -nél is és -nél is derékszöge van, így nyilván -nál is, tehát téglalap. Ugyanakkor két szomszédos oldala ugyanolyan hosszú (sugárnyi), így szükségképpen négyzet, amelynek oldala a hozzáírt kör sugara, . Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott két érintőszakasz hossza egyenlő, ezért és . Az előző megállapításainkkal egybevetve: | | Másrészt , így , azaz .
II. megoldás. Ismeretes, hogy egy háromszög területe kiszámítható az alábbi összefügésekkel:
(1) | , ahol a háromszög fél kerülete; |
(2) | , hiszen a háromszög derékszögű. |
Ezek alapján , így . Az állítás tehát pontosan akkor igaz, ha a összefüggés teljesül. Ezt azonosan átalakítva: | |
Állításunk ekvivalens a Pitagorasz-tétellel, erről pedig ‐ derékszögű háromszögről lévén szó ‐ tudjuk, hogy igaz. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. |