Kezdőlap


Feladat:	3860. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Almási Gábor
Füzet:	2006/december, 565 - 567. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Görbevonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: 3860. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A kicsiny test magassága az eredeti helyzetéhez képest

\begin{matrix} x = R (1 - cos α) \end{matrix}

értékkel csökken, helyzeti energiájának csökkenése tehát

α = 30^{\circ}

-nál

\begin{matrix} E = m g x = \frac{2 - \sqrt[]{3}}{2} m g R . \end{matrix}

A test sebessége az energiamegmaradás tétele szerint

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 E}{m}} = \sqrt[]{(2 - \sqrt[]{3}) g R} . \end{matrix}

A kockára ható

K

nyomóerő és a nehézségi erő sugár irányú komponensének eredője a kocka körmozgásához szükséges centripetális erővel egyenlő:

\begin{matrix} m g cos α - K = m \frac{v^{2}}{R}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} K = (\frac{3 \sqrt[]{3}}{2} - 2) m g \approx 0, 60 m g . \end{matrix}

b)

Most mindkét test mozoghat. Jelöljük a félhenger (vízszintes irányú) sebességét

V

-vel, a kis testnek a félhengerhez viszonyított (érintő irányú) sebességét

v

-vel! Mivel vízszintes irányú külső erők nem hatnak a rendszerre, érvényes a lendület vízszintes komponensének megmaradási tétele:

\begin{matrix} M V + m (V - v cos α) = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} V = \frac{\sqrt[]{3}}{6} v . \end{matrix}

A rendszer helyzeti energiája most is ugyanannyival csökken, mint az

a)

esetben, és a rendszer mozgási energiája ezzel az értékkel egyenlő:

\begin{matrix} \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} m u^{2} = \frac{2 - \sqrt[]{3}}{2} m g R, \end{matrix}

ahol

u

a kis test sebessége az asztalhoz viszonyítva. Mivel

u

az egymással

180^{\circ} - α

szöget bezáró

V

és

v

nagyságú vektorok eredője, a koszinusz-tétel szerint

\begin{matrix} u^{2} = V^{2} + v^{2} - 2 V v cos α . \end{matrix}

Ezt az energiamegmaradást kifejező egyenletbe írva és lendületmegmaradásból kapott

V

-t is behelyettesítve a kis test relatív sebességére végül

\begin{matrix} v = \frac{2}{\sqrt[]{3}} \sqrt[]{(2 - \sqrt[]{3}) g R} \end{matrix}

adódik.
Foglalkozzunk most a testekre ható erőkkel és a gyorsulásokkal! A félhengerre ható erők közül csak a kocka

K

nyomóerejének van vízszintes komponense, így a félhenger gyorsulása

\begin{matrix} a = \frac{K sin α}{M} = \frac{K}{4 m} . \end{matrix}

A kicsiny test gyorsulása a félhenger gyorsulásának és a félhengerhez viszonyított mozgás gyorsulásának összegeként kapható meg. Ennek az eredő gyorsulásnak a félhenger középpontja irányába eső komponense

\begin{matrix} a sin α + \frac{v^{2}}{R} . \end{matrix}

Ezt a gyorsulást a kis testre ható gravitációs erő sugár irányú komponense és a félhenger által kifejtett

K

erő eredője hozza létre:

\begin{matrix} m g cos α - K = m (a sin α + \frac{v^{2}}{R}) . \end{matrix}

Innen ‐

a

-ra és

v

-re korábban kapott összefüggéseket felhasználva ‐ a kérdéses nyomóerőre a

\begin{matrix} K = \frac{11 \sqrt[]{3} - 16}{27} m g \approx 0, 45 m g \end{matrix}

értéket kapjuk.